Голосование за Марка-Андре Амлена на «Грэмми»

Уважаемые господа-любители классической музыки,

Нашего пианиста Марка-Андре Амлена номинировали на «Исполнителя года-2013»: www.gramophone.co.uk/artist-of-the-year-2013.

Некоторые из вас были на его концертах, некоторые слышали записям фантастической виртуозности. Он может победить, если наберёт в открытом голосовании больше всего голосов. Давайте поможем Марку победить!

Впервые за всё время в блоге появляется надпись «Прошу скопировать на свою страницу».


For English-speaking viewers:

The great pianist Marc-André Hamelin has been shortlisted for Gramophone Artist of the Year!

It’s decided by public vote, so I would be grateful if you could do the honours and vote for Marc on this page: http://www.gramophone.co.uk/artist-of-the-year-2013.

Also, please circulate this link as widely as possible. Thank you very much in advance!

Hamelin and Kostyrka

Нетрудная математическая задачка

Задача. Найти такие многочлены \(u(x)\), \(v(x)\), что
\[x^m u(x) + (1-x)^n v(x) =1. \]


Решение. Вспомним разложение бинома и запишем его сразу в форме суммы:
\[ 1 = \bigl( x + (1-x) \bigr)^{n+m-1} = \sum\limits_{i=0}^{n+m-1} C^i_{m+n-1} x^i (1-x)^{m+n-1-i} = 1. \]

Разобьём эту сумму от \(i=0\) до \(i=m+n-1\) на две суммы: от \(i=0\) до \(i=m-1\) и от \(i=m\) до \(i=m+n-1\). Из суммы \(\sum\limits_{i=0}^{i=m-1}\) можно будет вынести за знак суммирования \((1-x)^n\), а из суммы \(\sum\limits_{i=m}^{i=m+n-1}\) отлично выносится \(x^m\): эти выражения присутствовали в исходном вопросе. Для удобства сумму, из которой выносится \(x^m\), будем делать не по \(i\), а по \(j\), а сумму с вынесенным \((1-x)\) сделаем по \(k\). Следует пояснить, что \(\sum\limits_{j=m}^{j=m+n-1}\) — это то же, что и \(\sum\limits_{j=0}^{j=n-1}\). Тогда
\[\sum\limits_{i=0}^{n+m-1} C^i_{m+n-1} x^i (1-x)^{m+n-1-i} = \]
\[ = \sum\limits_{j=m}^{m+n-1} C^j_{m+n-1} x^j (1-x)^{m+n-1-j} + \sum\limits_{k=0}^{m-1} C^k_{m+n-1} x^k (1-x)^{m+n-1-k} = \]
\[ = x^m \sum\limits_{j=0}^{n-1} C^{j+m}_{m+n-1} x^j (1-x)^{n-1-j} + (1-x)^n \sum\limits_{k=0}^{m-1} C^k_{m+n-1} x^k (1-x)^{m-1-k} = \]
\[ = x^m u(x) + (1-x)^n v(x) \equiv 1. \]