Самое кошмарное музыкальное произведение

В Сети есть страница с очень интересным списком произведений, озаглавленная «The Darker Side of Classical Music» («Тёмная сторона классической музыки»). На ней собраны образцы наиболее трагичных произведений, которые вышибают у слушателей слезу или вселяют в них ужас. Некоторые записи в нём спорны (Шостакович?), некоторые не вызывают никакого сомнения (Шестая симфония Чайковского, «Плач по жертвам Хиросимы» Пендерецкого, «Остров мёртвых» Рахманинова). Как и в любом подобном списке, в нём есть фамилии забытых позднеромантических композиторов второго эшелона.

Однако одной записи в нём не хватает. Не хватает упоминания композитора, известного как «Чёрный Балакирев» благодаря разрушительной и мрачной силе, присутствующей в его произведениях. Это Сергей Михайлович Ляпунов, родной брат Александра Ляпунова. Он является автором двух симфоний и двух фортепианных концертов. Каждый из них играет тысячами разных красок: Первый концерт — классическая русская печаль, Второй концерт — новь, свежее дыхание, короткий, но изящный эксперимент с гармонией, Первая симфония — эпическое произведение, весь финал которого представляет собой пиррову победу, радость со слезами на глазах...

Однако у Ляпунова есть одно произведение, о котором почти никто не знает. Его почти никогда не исполняют. Во всём зарубежном интернете нет ни одной статьи, посвящённой ему. Это Вторая симфония — самая острая музыкальная катастрофа, чёрный кошмар, падение в пропасть безумия, олицетворение демона самоубийства и символ гибели России. Написанное в 1917 году, оно содержит максимальную концентрацию трагических чувств в первой части. Если у Скрябина первая часть Второй симфонии — это непрерывная борьба с Природой, напряжённая и предвещающая грозу, то у Ляпунова намного больше личного трагизма: мировая война, революция (после которой композитор эмигрировал в Париж), нежелание принять крах великой империи, приходящейся ему родной страной... Всегда бывший мрачным и угнетающим, во Второй симфонии композитор зашёл за грань разрушительного и разбивающего сердце.

Сегодня исполнился ровно год с того самого момента, как в библиотеке Cité Universitaire была совершена самая катастрофическая ошибка 2015 года — была открыта, прослушана и переслушана симфония Ляпунова №2 си-бимоль минор. Именно 18 апреля все демоны, роившиеся внутри этого сундука, вырвались на свободу. Автор убедительно просит неподготовленного читателя смириться с тем, что полчище ночных бесов будет подталкивает прослушивающего эту симфонию сброситься с моста, вспороть живот, взрезать горло или что-нибудь похуже. Все, кто не боится перейти на чёрную сторону искусства, приглашаются к прослушиванию этой музыкальной гибели целой страны только в высококачественных наушниках или перед полноценной акустической системой. Помощи вам ждать неоткуда, никто к вам не придёт. Если вдруг вы не сможете остановиться, заставьте кого-нибудь заставьте вас поклясться самому/самой себе, что никогда в жизни вы больше не переслушаете этого произведения.

«Школьная» задача про возраст членов семьи

Три версии одной и той же задачки. Числа и формулировки немного разные, ответ одинаковый.

  • Вася младше своей мамы на 21 год. 15 лет назад отношение возраста Васи к разнице их с мамой возрастов было меньше возраста мамы в то время ровно в 9 раз. Вопрос: где сейчас Васина бабушка?
  • Вася младше своей мамы на 28 лет. 8 лет назад отношение возраста Васи к разнице их с мамой возрастов составляло ровно 15 % возраста мамы в то время. Вопрос: где сейчас Васин дедушка?
  • Вася младше своей мамы на 24 года. 18 лет назад отношение возраста Васи к разнице их с мамой возрастов составляло ровно 9,5 % возраста мамы в то время. Вопрос: где сейчас Васина бабушка?


Матожидание ошибок при симуляции МНК

Я больше года мучился, не понимал, почему аддитивность/мультипликативность нормальных ошибок играет такую большую роль, и даже разъяснение преподавателя не помогало. Почти год назад я написал этот пост: http://kostyrka.ru/blog/archives/1246 — и, оказывается, впустую! Сегодня на эконометрике ко мне пришло видение этой проблемы в свете того, что матожидание от функции не равно функции от матожидания. Конкретно это имеет значение, если вас просят оценить уравнение, в котором ошибка мультипликативна и, следовательно, при логарифмировании её матожидание должно дать ноль. Что делает плохой студент? Генерирует мультипликативную ошибку со средним 1 из первого попавшегося распределения!

Предположим, вы хотите научиться оценивать уравнение
\[Q = a K^\alpha L^\beta \cdot \varepsilon,\]
где \(\mathbb{E}(\varepsilon\mid K, L)=1\). Уже и компьютер включили, и gretl запустили. Какое распределение \(\varepsilon\) надо взять?

По прочтении условия очень хочется взять распределение ошибок \(\chi^2_1\), так как \(\mathbb{E}(\chi^2_1)=1\). Ещё очень хочется взять \(\mathcal{N}(1;\sigma^2)\). Некоторые кулибины берут \(\mathcal{U}[0{,}5;1{,}5]\) или \(\mathcal{U}[0;2]\). Так почему же нельзя брать ни то, ни другое, ни третье?

Ответ: так как по МНК уравнение будет оцениваться в логарифмах, то важно, чтобы не \(\mathbb{E}(\varepsilon)\) было единицей, а \(\mathbb{E}(\ln \varepsilon)\) было нулём. Матожидание не всепроникающее, поэтому матожидание логарифма не равно логарифму матожидания. Если бы выполнялась такая глупость, что \(\mathbb{E}\bigl(f(X)\bigr) = f \bigl( \mathbb{E}(X) \bigr)\), то было бы и \(\mathbb{E}(\ln X) = \ln \mathbb{E}(X)\), и \(\mathbb{E}(X^2) = \bigl(\mathbb{E}(X)\bigr)^2\), дисперсия стала бы тождественным нулём, и наступил бы конец света.

 

Хи-квадрат после логарифмирования начнёт себя вести очень плохо. Настолько плохо, что формулу для его матожидания я запишу в попустительской нотации:
\[ \varepsilon \sim \chi^2_1 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E}(\ln \varepsilon) = \mathbb{E}\bigl(\ln \mathcal{N}^2(0;1)\bigr) =\mathbb{E}\bigl(2\ln |\mathcal{N}(0;1)|\bigr) = 2\mathbb{E}\bigl(\ln |\mathcal{N}(0;1)|\bigr) \]

Во-первых, отрицательные значения перейдут вправо (распределение аргумента станет положительным). Во-вторых, из оставшихся логарифмов ошибок более 2/3 будут отрицательными (вероятность, что величина из нормального распределения по модулю будет меньше единицы, равна 68,27 %), причём некоторые из них будут убийственно отрицательными: логарифм близкой к нулю величины уходит глубоко под землю. Если уж идти до конца, то
\[ \varepsilon \sim \chi^2_1 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E}(\ln \varepsilon) = 2\mathbb{E}\bigl(\ln |\mathcal{N}(0;1)|\bigr) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln x \cdot e^{ -\frac{x^2}{2}} \,\mathrm{d}x = -\gamma -\ln 2 \approx -1{,}270\,36, \]
где \(\gamma\) — постоянная Эйлера—Маскерони.

В общем случае матожидание логарифма хи-квадрата с \(k\) степенями свободы выражается через полигамма-функцию (даже дигамма-функцию):
\[ \mathbb{E}(\chi^2_k) = \ln 2 + \psi^{(0)}\left(\frac{k}{2} \right), \quad \psi^{(0)}(x) \equiv \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} \]
Biased log of chi square
Если хотите, чтобы матожидание логарифма было равно нулю, то надо брать хи-квадрат с \(1{,}866\,025\) степенями свободы.

 

Нормальное распределение может выдать абсолютно любые значения случайной величины, так как функция плотности определена на \(\mathbb{R}\). Поэтому если ошибка мультипликативна и нормальна, то, вообще говоря, пропадают все значения, где ошибка получилась меньше нуля. Кроме того, если ошибка распределена как \(\mathcal{N}(1;\sigma^2)\), а наивные пользователи думают, что её логарифм в среднем даст ноль, то спешу их разочаровать следующей картиной:
Biased Log of Normal Distribution
Здесь avgleps — это \(\overline{\ln \varepsilon_i} = \mathbb{E}(\ln\varepsilon_i \mid \sigma)\), где \(\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(1;\sigma^2)\). Любой желающий может в этом убедиться (если скрипт виснет, надо уменьшить размер выборки до, скажем, nulldata 5000):
nulldata 100000
scalar step=0.01
#
loop for (se=0.001; se<10; se+=step) --progressive series eps = randgen(N,1,se) series leps = ln(eps) genr avgleps = mean(leps) store biasedln.gdt se avgleps endloop # open biasedln.gdt gnuplot avgleps se --with-lines --output=display --suppress-fitted

На самом деле безусловное матожидание логарифма нормального распределения — это следующее аналитическое выражение:
\[ \varepsilon \sim \mathcal{N}(1;\sigma^2) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E}\bigl(\ln \varepsilon \bigr) = \frac{1}{2} \left(-{}_1\mathrm{F}_1\left(0;\frac{1}{2};-\frac{1}{2 \sigma ^2}\right)+\ln \left(\frac{\sigma ^2}{2}\right)-\gamma \right) + \frac12 i \pi \mathrm{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2} \sigma}\right), \]
где \({}_1\mathrm{F}_1\) — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера (Kummer confluent hypergeometric function).
Biased expectation
Чтобы избавиться от мнимой единицы, некоторые товарищи могут взять условное матожидание (\(x>0\)) или выкинуть все отрицательные значения (как на графике в gretl’е), то и тогда у них матожидание будет равно ещё более жуткому выражению (раскрываю свои карты) — и притом обе эти функции будут давать абсолютно одинаковые графики:
\[ \text{Expectation}[\log (x)\unicode{f3d3}x>0,x\approx \text{NormalDistribution}[1,\sigma ]] \]
\[ \frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma ^2}} \left(-e^{\frac{1}{2 \sigma ^2}} \sigma \text{Hypergeometric1F1}^{(1,0,0)}\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2 \sigma ^2}\right)+\sqrt{\frac{2}{\pi }} \text{Hypergeometric1F1}^{(1,0,0)}\left(1,\frac{3}{2},\frac{1}{2 \sigma ^2}\right)+\gamma e^{\frac{1}{2 \sigma ^2}} \sigma \text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2} \sigma }\right)-e^{\frac{1}{2 \sigma ^2}} \sigma \log (2) \text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2} \sigma }\right)-2 e^{\frac{1}{2 \sigma ^2}} \sigma \text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2} \sigma }\right) \log (\sigma )-2 \gamma e^{\frac{1}{2 \sigma ^2}} \sigma +4 e^{\frac{1}{2 \sigma ^2}} \sigma \log (\sigma )\right)}{2 \sigma \left(\text{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)} \]

Вам это надо? Не надо. Симуляция уже показала вам, насколько велико смещение. Если \(\sigma\not\approx 1{,}092\,340\) (приблизительное решение этой страшной аналитической вещи относительно \(\sigma\)), то наличествует систематическая ошибка, и коэффициенты модели неверны, причём по вышеприведённым графикам можно оценить смещение. Даже если смещение равно 0,1, но наблюдений в выборке 100 000, то...

Совсем плохой случай: если в исходной модели ошибки мультипликативны и нормальны с нулевым матожиданием и дисперсией \(\sigma^2\), то при переходе к логарифмам их матожидание станет равным \(\frac{1}{2} \left(-\gamma + \ln \frac{\sigma^2}{2} \right)\), смещение принимает какое угодно значение, смещается оценка свободного члена, и ни при какой огромной выборке остальные истинные коэффициенты получить не удастся!

 

Если кто-то возьмёт равномерное распределение ошибок с матожиданием 1, то ясно, что для получения осмысленных ошибок нижняя граница интервала распределения может изменяться от 0 до 1, а верхняя — от 2 до 1 (зеркально). Посмотрим на матожидание ошибки при различных параметрах генерирования:
Biased Log of Uniform Distribution
nulldata 100000
scalar step=0.001
#
loop for (bnd=0.001; bnd<1; bnd+=step) --progressive series eps = randgen(u,bnd,2-bnd) series leps = ln(eps) genr avgleps = mean(leps) store biasedln.gdt bnd avgleps endloop # open biasedln.gdt gnuplot avgleps bnd --with-lines --output=display --suppress-fitted

Уже лучше, но всё равно плохо. Если ошибка имеет равномерное распределение от \(b\) до \((2-b)\), то её среднее равно одному, однако среднее её логарифма нулю никак не равно. А вот чему оно равно:
\[\varepsilon \sim \mathcal{U}[b;2-b] \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E}\bigl(\ln \varepsilon\bigr) = \frac{-2 b+b \ln (2-b)+b \ln b-2 \ln (2-b)+2}{2 (b-1)} \]
Интересная функция. Её предел в нуле равен \(\ln 2 - 1 \approx -0{,}307\), а при стремлении к единице её значение стремится к нулю. Однако это значит, что для минимизации смещения требуется брать значения границ, равные \([0{,}95;1{,}05]\) или ещё у́же, а до такого додумается далеко не каждый: все будут бояться, что при таком малом разбросе ошибок получатся гигантские (\(\geqslant50\)) t-статистики, а сама регрессия потеряет всякий смысл, исчезнет случайность, а «наблюдаемые» значения будут лежать почти в одной гиперплоскости. При этом все забывают, что только лишь очень близкие к единице \(\varepsilon\) позволяют задействовать отношение эквивалентности \(\ln (1 + \delta) \sim \delta\) при \(\delta\approx 0\).
Biased log of uniform distribution

 

Мораль 1. При генерировании искусственных данных помните, что в модели с мультипликативными ошибками очень желательна нормальность их логарифмов с центром массы в нуле. Если матожидание ошибок, преобразованных в аддитивные, не равно нулю, коэффициенты МНК будут в порядке, но оценка константы будет смещённой и несостоятельной, что критично при оценке технологического фактора в модели Кобба—Дугласа.

Мораль 2. Решаете задачку, гоняете циферки, а вам нужны ошибки, которые не сместят коэффициентов? Берите \(\varepsilon = \exp\bigl(\mathcal{N}(0;1)\bigr)\).

 

P.S. Мне кажется, что при симуляции Монте-Карло имеет смысл поиграться с функциональной формой ошибок и добиться того, чтобы проверка выполнения условия \(\sum(y_i^* - {\boldsymbol{x}^*_i}'\boldsymbol\beta)=0\) начиналась на шаг ранее, когда исходная форма \(y_i = f(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol\beta, \varepsilon_i)\) преобразуется в \(y_i^* = f^{-1}(y_i) = f^{-1}\bigl(f(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol\beta, \varepsilon_i)\bigr) = {\boldsymbol{x}^*_i}'\boldsymbol\beta + \varepsilon_i^*\), и чтобы особое внимание уделялось условию \(\mathbb{E}(\varepsilon_i^*)=0\). Конечно, это не так важно, но всё-таки есть такое эмпирическое правило, что наличие значимой константы говорит о пропущенных переменных; поэтому если в истинной модели есть константа, но систематическая ошибка её сильно снижает, то может возникнуть ложное ощущение того, что в модели учтено достаточное количество влияющих факторов, в то время как друг на друга накладываются большая необъяснённая остаточная вариация и систематическая ошибка.

Как открыть WF1 в STATA без скачивания EViews

Наглядная инструкция со скриншотами.

  1. Скачать и установить gretl (а у кого-то x64).
  2. Открыть gretl. Нажать File — Open Data — User file — внизу обязательно выбрать тип файла (EViews — WF1) — на вопрос о временной или панельной интерпретации ответить отрицательно.
    wf1
  3. wf2
    wf3

  4. Нажать File — Export Data.
    wf4
  5. Нажать All, чтобы выбрать все переменные. Формат оставить CSV. Если спросит separator, выберите tab. ОК.
    wf5
  6. Запустить STATA.
  7. Нажать File — Import — Text data created by a spreadsheet. Выберите файл CSV оттуда, куда его сохранили, и радуйтесь, что всё могло быть гораздо хуже.
    wf6

Q1: Я не хочу качать gretl. Можно ли это сделать без него?
A1: Ваше время, ваши поисковые ресурсы. Это можно сделать в R или других бесплатных программах, но это немного сложнее.

Q2: Не потеряется ли что-либо при таком конвертировании?
A2: У любой программы в «родном» формате записана дополнительная информация, комментарии, описания переменных. К сожалению, если одна программа не может открыть «родной» формат другой программы, то это значит, что всю дополнительную информацию перенести не удастся.

Q3: Что такое CSV? Зачем надо было выбирать tab?
A3: CSV — это comma-separated values, «разделённые запятыми числа». tab — они будут разделены знаками табуляции (как пробел, только немного другой). На англоязычных системах по умолчанию десятичная часть отделяется точкой, а одно число от другого — запятой (отсюда и CSV). В некоторых странах Европы и РФ десятичная часть разделяется запятой, а разные числа — вообще как попало. Чтобы не возникало багов, договорились, что табулятор (tab) уж точно не спутать ни с чем так, как путают точку и запятую. Я не знаю, какие у вас настройки языка системы (точки и запятые), поэтому рекомендую самый отказоустойчивый вариант.
NB: если не оговорено иначе, вычислительные пакеты по умолчанию используют точку как разделитель дробной части вне зависимости от вашего языка. Так удобно. Все машинные вычисления идут с точкой.

Об астрологии

Можно просто сказать, что влияния знаков зодиака не существует. Однако в таком случае астрологи просто закидают высказавшегося тоннами макулатуры на свою тематику («Нет, существует, и вот какое!»). Поэтому лучше было бы объяснить то, что объясняет астрология, более понятными и точными терминами.

Единственное, от чего зависит знак зодиака, — это месяц рождения: год разбит на 12 частей с некоторым смещением. Тогда принадлежность к знаку зодиака — это всего лишь индикатор рождения в определённый момент цикла. Просто так получается, что Земля вращается периодчно, поэтому меняются средняя температура, проекция звёзд на поверхность и прочие вещи, связанные с поворотом планеты. Вместо того чтобы думать, что на нас из космического пространства смотрят какие-то несуществующие девы, раки и рыбы, созведия которых вообще не похожи на свои названия или даже на символы, гораздо удобнее присваивать наблюдаемому субъекту категориальную переменную от 1 до 12. Как разбивать год и с каким сдвигом — это вопрос вкуса.

В природе всё циклично (нормально, дискретно — продолжить ряд самостоятельно). Не нужно быть ясновидящим, чтобы догадаться, что продажи карандашей приходятся на пик тогда, когда солнце проходит над Девой, а хлопушкам и петардами (и их продавцам) покровительствует Козерог. Многие вещи можно объяснить сезонностью: летом доля населения гарантированно обгорает под солнечной радиацией (ещё за это платит огромные деньги, радуется и хвастается), а в праздники часть гарантированно перебирает сверх нормы. Рассмотрим новогодние праздники (Козерог, 22 декабря — 19 января). Беременность длится 9 месяцев. Поэтому сходство процессов, происходящих внутри тех, кто напился и перестал быть себе хозяйкой/хозяином, не может не отразиться на тех, кто родится под знаком Девы: у части из них будет прослеживаться определённая схожесть микроучастков ДНК. Оплодотворение, имеющее место летом, и вторая половина беременности, прошедшая зимой, одинаково скажутся на десятках миллионов родившихся весной, но количество исследований в этой области недостаточно, а сами закономерности очень слабо проявляются.

Получается примерно так же, как и в зарплатном уравнении: уровень образования влияет на зарплату, а образование матери влияет на образование ребёнка (и на зарплату). Значит, в уравнении зарплаты должны присутствовать образование, образование матери и их произведение (cross term). Значимы ли будут два последних коэффициента на тысяче наблюдений? Нет, так как громадный уровень шума от ошибок измерения других переменных и от неизвестности истинной функциональной формы уравнения. Однако если мы возьмём 7,1 миллиарда генеральной совокупности, то получим значимые коэффициенты. Точно так же можно медицински выяснить особенности формирования плода и изменчивости его генов, когда руки матери мёрзнут без перчаток (ранний/средний/поздний сроки), когда мать загорает на солнце и т. д. Эффект будет, но настолько слабый, что будет легко перекрываться аспектами воспитания, физической подготовки, обмена информацией и мнениями с окружающими, влиянием перенесённых болезней, пропорции белков, жиров и углеводов в рационе, детских психологических травм — всем.

Не стоит упускать из виду и то, что характер меняется на протяжении жизни, и эти изменения точно никак не могут быть связаны с датой рождения: наоборот, если бы дата рождения влияла на характер, то последний бы не менялся. Поведение человека зависит даже от ситуации, и здесь положение звёзд в момент его рождения ему не указка: в одной и той же ситуации он мог себя повести как согласно описанию, так и совершенно наоборот (это, собственно, и происходит).

Итак, то, что приписывают влиянию расположения звёзд, на самом деле зависит не от звёзд, а от положения Земли в пространстве и фазы цикла, и если в некоторых областях эффект цикличности или сезонности очень силён, то формирование характера почти не зависит от положения Земли в момент рождения и формируется под влиянием общества. Звёзды не могут влиять ни физически (сила их притяжения ничтожно мала, излучение их рассеивается), ни морально (если не читать и не воспринимать близко к сердцу, «какими должны быть Стрельцы» в соответствии с гороскопом, формирование характера будет происходить случайно). Кроме того, наблюдается ряд особенностей чтения гороскопов, искажающих восприятие. Не забывайте, что

  • Всё влияет на всё. Расширенное утверждение: всё влияет на всё по-разному (самое простое доказательство — ненулевая сила взаимодействия между любыми двумя объектами).
  • Не надо придавать внимания тому влиянию, которое может иметь разную направленность, степень которого нельзя точно установить и которое то проявляется у подходящих под описание, то не проявляется.
  • Не всё, что пишут в книгах, — правда: многие книги печатаются потому, что содержат сладкую ложь, которая приятна окружающим.
  • Не надо думать, что если несколько знакомых подходят под какой-то один расплывчатый критерий («они очень творческие» и проч.) из нескольких стоящих рядом расплывчатых критериев, то вся группа критериев верна.
  • Наблюдатели склонны переоценивать вероятность того, что они уже наблюдают, и недооценивать процент неудач, несовпадений или ошибок. Несбывшиеся предсказания и описания, как правило, забываются, а совпадения ярко запоминаются.

Верящий в гороскопы должен задать себе вопрос: «что значит „родиться под знаком Девы“?». Получив ответ «родиться в диапазоне дат», он должен задать второй вопрос: «Является ли рождение в диапазон дат определяющим фактором формирования личности и её поведения на протяжении всей жизни?» Ответ на второй вопрос и будет индикатором степени его пагубной доверчивости. На досуге он может подсчитать, сколько процентов его знакомых подходит под точное описание (согласно гороскопу, должно быть 8,33 %), сколько не подходит, какой процент ошибок и неточных соответствий, кому ещё можно приписать такой же гороскоп, и принять решение о силе корреляции характера и его зодиакального описания. (Ответ: одно и то же описание подходит равномерно одинаковой доле всего населения, равномерно представленной всеми датами рождения.) Пара совпадений по всем знакам ничего не объясняет, а утверждение «в каждом человеке есть что-то хорошее и что-то плохое» верно для 7,1 миллиардов человек, поэтому новой информации не сообщает и ценности не представляет.

Этот мир будет обречён на качественное развитие до тех пор, пока знакам зодиака будет уделяться внимания больше, чем знакам препинания, знакам при коэффициентах, денежным знакам и знакам на дорогах (а также знакам из-за соседнего столика).

P.S. А если верите в астрологию или хотите сделать верящему в астрологию подарок, то подарите ему картину из кристаллов Swarovski со знаком зодиака. Вам-то без разницы, что дарить (вы уже мысленно зарезервировали сумму, с которой готовы расстаться ради подарка), а я получу небольшой процент благодаря вашей покупке, так как создавал этот интернет-магазин. Раз уж вы верите в астрологию, то должно же мне быть как-нибудь от этого хорошо (надо чем-то положительным перекрывать полученное разочарование).

Мой номер телефона

Первая цифра числа \(\pi\) — это 3. Пятая цифра числа \(\pi\) — это 5.

Код оператора — «+» и 4 цифры, начиная с 30 196-й цифры числа \(\pi\).

Сам номер телефона — 7 цифр, начиная с 16 503 566-й цифры.

Звоните, я всегда рад пообщаться с умным человеком, который умеет написать скрипт, не виснущий при обработке такого большого массива данных.


Идёт математик по пустыне, видит — волшебная лампа из песка торчит. Достал её, потёр рукавом — из лампы вылетает джинн.
— Я исполню любое твоё желание!
Математик подумал и ответил:
— Хочу номера телефонов всех красивых девушек моего города!
Джинн даёт математику число \(\pi\).
— Держи, они где-то в нём есть.

Инструкция по использованию математика

Mathematician Owner’s Manual

 

Диагностика и устранение неполадок

Прежде чем звонить в службу поддержки, пожалуйста, ознакомьтесь
со списком наиболее часто возникающих неисправностей математика.

 

Проблема Возможное решение
Математик зачастую даёт некорректные ответы к простым арифметическим задачам. Можете не беспокоиться, что ваш математик запрограммирован корректно. Просто дайте ему калькулятор для облегчения утомительных вычислений.
Я дал своему математику сумму в \(N\) долларов, чтобы он удвоил её в казино, однако он вернулся и принёс \(N\) долларов обратно. Ваш математик работает надлежащим образом.
Я взял своего математика на презентацию новой методики самосовершенствования, на которую я хотел записаться. После презентации мой математик начал опровергать все положительные доводы, приведённые выступавшим, посредством точного указания, где эти аргументы были противоречивыми или нелогичными. Это совершенно нормально.
Я не обнаружил волшебной шляпы в комплекте с математиком. Волшебная шляпа приобретается за отдельную плату.
Мой математик перестал давать теоремы. Давайте вашему математику больше кофе (в комплект не входит).
У моего математика появилась кофеиновая зависимость. Давайте вашему математику больше амфетамина.
Мой математик не сообщает, над какой задачей работает. Для некоторых моделей такое поведение считается нормальным и может продолжаться десятилетиями. Для получения оптимальных результатов мы рекомендуем постоянно держать вашего математика в курсе, какие «Задачи тысячелетия» уже решены.
Я не понимаю ни одной из теорем, которые выдаёт мой математик. Это признак того, что ваш математик высокого качества. Если вы хотите разбираться в результатах его работы, мы рекомендуем продукты начального уровня:

  • «Мой первый счетовод»
  • «Арифметик для „чайников“»

Вместо любого из этих продуктов можно приобрести калькулятор, рекомендованный в п. 1. У нас действует специальное предложение «2 по цене 3» для желающих приобрести один из этих продуктов вместе с математиком.

PDF-версия инструкции для печати.

(Расширенный перевод замечательного комикса http://spikedmath.com/514.html.)

Простая задача о длине верёвки, опоясывающей земной шар

Задача. Радиус Земли у экватора составляет 6 378,137 км. Землю по экватору опоясывают неэластичной верёвкой длиной 40 075,016 685 6 км. Чтобы избавиться от тысячных метра, я беру и удлиняю верёвку на 31,44 сантиметра (!), т. е. до 40 075,017 км. В результате натяжение ослабевает, и для его восстановления требуется удлинённую верёвку подпереть шестом с земли. Какой высоты понадобится для этого шест? А если изначально я удлинил верёвку не на 31,44 см, а на дюйм? На 1 см?


Решение. Эта задача великолепна тем, что полученный ответ кажется контринтуитивным. Серьёзно, попробуйте решить её сами, а только потом смотреть в решение. Казалось бы, сколько там нужно для подпирания этих жалких тридцати одного с половиной сантиметра по сравнению со всей Землёй?

Не решили? Ладно. Запишем задачу в общем виде: вокруг окружности радиуса \(r\) и точки, находящейся от неё на расстоянии \(h\), натягивается верёвка длины \(2\pi r + a\). Получаются две касательные к окружности, выходящие из пресловутой точки, длина которых в сумме с длиной большей дуги даёт \(2\pi r + a\). На каком расстоянии точка находится от окружности? \(h=?\)

Technical drawing of Earth with rope around it

Запишем, из чего состоит полученная длина верёвки: два отрезка касательных и дуга. Длина дуги — это радиус, умноженный на величину центрального угла в радианах. Полный центральный угол между радиусами, проведёнными в точки касания, равен \(\pi-2\alpha\), поэтому длина дуги, составляющей остальную (большую, «заднюю») часть окружности, равна \(2\pi r\frac{\pi + 2\alpha}{2\pi} = 2\pi r \left( \frac{1}{2}+\frac{\alpha}{\pi}\right) = \pi r + 2\alpha r\). Тогда

\[2\pi r + a = \left( \frac12 + \frac{\alpha}{\pi} \right) 2\pi r + 2b.\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ACD\). Выразим через \(\alpha\), \(r\) и \(h\) сторону \(b\). Во-первых, по теореме синусов, \(\frac{r}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin (\pi/2-\alpha)} = \frac{b}{\cos \alpha} = r + h\) (так как \(0<\alpha<\pi/2\)). Отсюда \[b = r \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = r \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha.\] Во-вторых, по теореме Пифагора, \((r+h)^2 = r^2 + b^2 = r^2 + r^2 \mathop{\mathrm{ctg}^2} \alpha\). Тогда \(r^2 + 2rh + h^2 = r^2 + r^2 \mathop{\mathrm{ctg}^2} \alpha\), откуда \( \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha = \sqrt{\frac{2rh + h^2}{r^2}}\) и \[ \alpha = \mathop{\mathrm{arcctg}}\sqrt{\frac{2rh + h^2}{r^2}}.\] На заметку злым языкам или седым математикам/мать-и-мачехам: даже и не думайте, что где-то возникнет ошибка в знаке тригонометрических функций или корне, так как \(\alpha\) — угол первой четверти, все длины больше нуля, и делать преобразования выражений без контроля знака так же безопасно, как и играться объектами в евклидовом пространстве. Мы по-прежнему не знаем ни \(\alpha\), ни \(h\). Возвращаемся в первое уравнение и подставляем в него готовые значения для \(b\) и \(\alpha\): \[2\pi r + a = \left( \frac12 + \frac{\alpha}{\pi} \right) 2\pi r + 2b,\] \[2\pi r + a = \left( \frac12 + \frac{\mathop{\mathrm{arcctg}}\sqrt{\frac{2rh + h^2}{r^2}}}{\pi} \right) 2\pi r + 2r\sqrt{\frac{2rh + h^2}{r^2}},\] \[ \left( \frac12 - \frac{\mathop{\mathrm{arcctg}}\sqrt{\frac{2rh + h^2}{r^2}}}{\pi} \right) 2\pi r + a = 2\sqrt{2rh + h^2},\] \[ \pi r - 2 r \mathop{\mathrm{arcctg}}\sqrt{\frac{2rh + h^2}{r^2}} + a = 2\sqrt{2rh + h^2}.\] Всё, мы пришли. Аналитическими методами данное уравнение относительно \(h\) не разрешается, так как даже в упрощённом виде получается какой-то ужас навроде \( \mathop{\mathrm{arcctg}}x -x = c \). Воспользуемся в таком случае численными методами. В каком-то «разговорнике математика» видел перевод слов: «численный» — очень плохой, «аналитический» — качественный. Но у нас нет способа задать обратную функцию, поэтому прибегнем к помощи Wolfram Alpha Logo и попросим найти возможные положительные значения \(h\) для известного \(r\). Спросим у него в метрах:
Solve Pi*6378137 - 2*6378137*arccot(\sqrt((h^2 + 2*6378137*h)/(6378137^2))) + 0.3144= 2\sqrt(h^2 + 2*6378137*h) for h>0

Wolfram’s solution

Чем меньше удлинение верёвки, тем относительно более длинный шест нам понадобится для восстановления натяжения. Если верёвку, опоясывающую Землю, удлинить всего на один дюйм (2,54 см), то длина требуемой подпорки составит ≈10,5 м! А если верёвку по сравнению с изначальным плотным обхватом удлинить всего на 1 см, то понадобится в 546 раз более длинный шест!

Ещё раз посмотрим: да, это так! При удлинении верёвки менее чем на треть метра для поддержания её в натяжении понадобится шест в 56,18 м!

И еще разъ посмотримъ: да, се такъ! При удлиненіи веревки менѣе чѣмъ на треть метра для поддержания ее въ натяженіи понадобится шестъ въ 56,18 м!

P.S. Очень впечатляюще звучит и обратная задача: земной шар по экватору опоясали прилегающей эластичной резинкой. Я залезаю в башенный кран и оттягиваю планетарную резинку вверх на 121,5 метр. Вопрос: на сколько метров резинка стала длиннее?

Голосование за Марка-Андре Амлена на «Грэмми»

Уважаемые господа-любители классической музыки,

Нашего пианиста Марка-Андре Амлена номинировали на «Исполнителя года-2013»: www.gramophone.co.uk/artist-of-the-year-2013.

Некоторые из вас были на его концертах, некоторые слышали записям фантастической виртуозности. Он может победить, если наберёт в открытом голосовании больше всего голосов. Давайте поможем Марку победить!

Впервые за всё время в блоге появляется надпись «Прошу скопировать на свою страницу».


For English-speaking viewers:

The great pianist Marc-André Hamelin has been shortlisted for Gramophone Artist of the Year!

It’s decided by public vote, so I would be grateful if you could do the honours and vote for Marc on this page: http://www.gramophone.co.uk/artist-of-the-year-2013.

Also, please circulate this link as widely as possible. Thank you very much in advance!

Hamelin and Kostyrka

О гигиене и чрезмерном чистоплюйстве

По просмотре трёх выступлений Джорджа Карлина мне пришла в голову мысль донести до окружающих хорошие мысли из комедийных монологов, которые содержат глубокие социальные посылы, но которые совершенно потонули в смехе слушателей. Итак, представляю ниже самый литературный, надеюсь, перевод. Фразы, сказанные исключительно ради эпатажа, зачёркнуты.

То, что у нас сейчас имеется, — совершенно невротичное население, одержимое безопасностью, мерами предосторожности, лекарствами, чистотой, гигиеной, а также микро-о-обами. Вот ещё одна вещь — микробы. Откуда такая внезапная боязнь микробов? Вы замечаете, что СМИ постоянно крутят истории о последних инфекциях: сальмонелла, грипп, кишечная палочка, птичий грипп? А народ паникует легко: они начинают бегать и верещать, протирать салфетками это, брызгать то, чрезмерно обрабатывать пищу при приготовлении, мыть руки часто-часто, стараясь не вступить в контакт с бактериями. Это нелепо, и эта нелепость порою зашкаливает. Преступникам перед совершением смертельной инъекции протирают руку спиртом! Да, это так! Они не хотят, чтобы вы подхватили инфекцию! Посудите сами, кому хочется отправиться в ад больным? Трусливые слюнтяи!

Уже не купить нормальный гамбургер. Они пережаривают всё, как полоумные, потому что все боятся пищевого отравления. Эй, где ваш азарт? Где молодцеватость? Давайте, рискните! Знаете, сколько людей умирает ежегодно в США от пищевого отравления? Девять тысяч. И всё! Это ничтожный риск. Давайте, перестаньте быть мягкотелыми жабами.

На что вам дана иммунная система? Чтобы убивать микробов! Но ей нужна тренировка! Ей нужны бактерии, чтобы отрабатывать на них свой функционал. Если вы устраните всех микробов вокруг и будете вести совершенно стерильную жизнь, то тогда, когда микробы к вам вернутся, вы не будете к ним подготовлены. Даже к обычным бактериям. А что вы будете делать, когда столкнётесь с мощным вирусом? Да он вам все жизненно важные органы в кашу превратит. Я знаю, что будет: вы заболеете, вы издохнете, и поделом вам, слабаки с ничтожной иммунной системишкой!

Давайте я расскажу вам кое-что из своей жизни, как я понял, что такое укрепление иммунитета. Когда я был мальчиком в Нью-Йорке 1940-х, мы плавали в речке Гудзон. В ней были сплошные нечистоты — как вам это? Мы плавали в сточных водах. Чтобы охладиться, знаете. В те времена все боялись полиомиелита. Тысячи детей умирали от полиомиелита ежегодно. Но в моём районе никто не умер. Никто. Потому что мы плавали в канализационных стоках! Это укрепляло нашу иммунную систему! У полиомиелита не было шансов: мы были закалены нечистотами! Поэтому я против микробов не принимаю никаких специальных мер. Я не перестану общаться с человеком, если он чихает и кашляет. Я не буду протирать трубку телефона. Я не буду простилать просто так сидушку. А если я роняю еду на пол, то подбираю и съедаю её! Съедаю! Да, съедаю. Даже если это придорожное кафе для бедноты в Калькутте новогодним утром во время футбольного погрома.

Знаете, что, если отставить в сторону всё это «рисковое поведение», я никогда не болею. У меня нет простуды, у меня не бывает гриппа и головных болей, у меня никогда не расстраивается желудок, а почему всё это? Потому что у меня сильная иммунная система, которая постоянно тренируется. У меня она как будто вооружена штурмовыми винтовками и фосфорными гранатами. Поэтому если во время патрулирования мои белые кровяные тельца, снующие по кровотоку в поисках бактерий и прочих нежелательных гостей, заметят хоть каких-либо подозрительных микробов, то они спустят этих жалких интервентов прямо в кишку. В толстую кишку без предупредительных выстрелов.

И если уж разговор зашёл о кишечнике! Я не мою на автомате руки, когда хожу в уборную. Можете смириться с этим? Иногда мою, иногда не мою. Знаете, когда я точно мою руки? Когда они запачкаются в туалете! Раза три в неделю точно такая оказия случается, на праздники — почаще. Я скажу вам ещё кое-что, мои протёршиеся гигиеническим гелем друзья. Не каждый день нужен душ. Вы знали это? Мыться целиком каждый день — это стрелять из пушки по воробьям, если только вы не после тренировки или не после тесного контакта с чем-нибудь грязным. Вам не нужно мыться полностью; каждодневной чистке подлежат лишь четыре области: подмышки, пятая точка, нижние регионы и зубы. Если хотите сэкономить время, можете всё мыть одной и той же щёткой.

Джордж Карлин, 62 года.

Очень интересно сравнить мысли Карлина и самого себя в 2008 году. Привожу отрывок из собственных записей.

Если что-то болит, надо скрывать!.. Не стоит лишний раз расстраивать родителей... Организм сам себя вылечит. Так природой заложено...
<...> А если вирус, то антитела включатся сами.

Причина вот в чём. Открою завесу. Это проблема начинается примерно с 20-го века (именно тогда при заболевании мамы стали давать деткам лекарства). До этого исключительно стимулировали тонус организма (дети — сладость, взрослые — обливание для вылечивания), а теперь эта функция началась атрофироваться. Если процесс не остановить, то где-то через 2–3 поколения эта функция станет рудиментом, говоря языком биологии. Есть шанс её восстановить, его нельзя упустить. Эту теорию долго я вынашивал во чреве, дабы разнести ей Вселенную в клочья!

— Ваша теория действительно интересна! Но нужно отменное здоровье, чтобы ставить такие эксперименты... 95 процентов детей рождаются больными.

— Вот... Это и есть порок XX столетия. По крайней мере, пусть хоть мои потомки будут продолжать носить супериорные (superior) регенеративные гены.

Андрей Костырка, 15 лет.

Цены на продукты питания в 2012 г.

На 1 тысячу российских рублей в марте 2012 года магазине-ВНИИСОКовском филиале сети «Пятёрочка» я однажды купил следующие продукты (в скобках указана примерная цена за 1 шт., так как точного чека не сохранилось):

  • 9 сладких рулетов (≈18 руб.);
  • 4 вафельных торта (≈28 руб.);
  • 1 пачку пастилы (≈20 руб.);
  • 2 бутылки энергетического напитка «Power Torr» (≈21 руб.);
  • 2 пачки готовых замороженных ужинов «Сытоедов» (≈100 руб.);
  • 20 йогуртов (≈6,5 руб.);
  • 2 плитки шоколада (≈12 руб.);
  • 1 пачку кукурузных палочек (≈12 руб.);
  • 1 пачку крабового мяса (≈20 руб.);
  • 5 банок консервированных овощей (≈25 руб.);
  • 10 яиц (≈30 руб. за все)
  • 2 литра молока (≈25 руб.)
  • 2 пачки лапши «Доширак» (≈18 руб.)
  • 6 мелких пачек лапши (≈6 руб.)
  • 1 пакет печенья (≈15 руб.)
  • 1 упаковку мешков для мусора (≈20 руб.).

Итого: 1 040 руб. Если выкинуть этот гадкий энергетический напиток «Power Torr», то получится ровно 1 000 руб.

Следует отметить, что все эти продукты были довольно инфериорного качества (то есть пахли вкусно, но на вкус казались искусственными или напичканными консервантами). Зато данный эксперимент по закупке пищи является отличной прививкой от нытья «голодающих»: он наглядно демонстрирует, сколько всего съедобного можно купить на одну тысячу рублей. Предположим, что качественные продукты стоят аж в полтора раза дороже (на 50 % выше их цена): это достоверное допущение, так как, скажем, даже дешёвое печенье безвредно, как и консервированные овощи и замороженные ужины «Сытоедов», то есть за них можно больше и не платить, а за лапшу и йогурты можно отдать больше (хотя грубые и полезные макароны из пшеничной муки стоят 16 рублей за пачку, которой хватает на много раз, что является хорошей экономией). Итак, если уплатить за все вышеперечисленные продукты не тысячу, а полторы тысячи, выбрав марки заведомо хорошего качества, то можно очень долго, очень счастливо и вполне сбалансированно питаться этим около двух недель. 3 000 рублей в месяц на еду — это необходимо и достаточно, чтобы не оплачивать гастроэнтерологические процедуры в более старшем возрасте. Три тысячи в месяц — это 100 рублей в день. 100 рублей в день на еду найти может каждый. Даже самый тупой гражданин России.

Вывод: не нойте, заработайте 3 000 за месяц, питайтесь в своё удовольствие с пользой и не жалуйтесь. Если нужно платить за квартиру пять тысяч, работайте 8 часов в день 5 дней в неделю, и работодатель не будет иметь права заплатить вам менее 11 700 рублей.

Трагедия точки с запятой

Почему-то в наше время разучились пользоваться точкой с запятой. Болваны. Запятая нужна для связи членов предложения и более близких частей предложения, а точка с запятой нужна для того, чтобы показать, что эти две сочинённые части связаны, но по структуре и смыслу они носят антагонистический или просто разнородный характер.

  • Можно делить отрезки пополам, если обе половины открыты, то одна точка окажется между. Плохо! При первом прочтении возникает ощущение: можно делить, если половины открыты. Всё. И только потом мы видим, что это совершенно другая конструкция. Для обозначения этой совершенно другой конструкции нужно вставить или слово, или точку с запятой.
  • Можно делить отрезки пополам, и если обе половины открыты, то одна точка окажется между. Отлично!
  • Можно делить отрезки пополам; если обе половины открыты, то одна точка окажется между. Отлично!