Stochastic portfolio optimisation and out-of-sample testing using R

Author: Andreï Victorovitch Kostyrka, University of Luxembourg.

Last updated: 2018-07-31.

One might ask a question, “What is it like to try to pick an optimal portfolio and invest in stocks?” Well, here I have prepared some R code that does the following thing:

  • Downloads stock data from Yahoo Finance from 2014 for a selection of stocks;
  • Puts all stocks together across the maximum set of available dates and nicely imputes missing values using Kalman filter with structural modelling;
  • Tries all possible combinations or portfolios (as many as possible, using Halton pseudo-random low-discrepancy sequences, doing many iterations and saving the best result from every iteration to save memory);
  • Creates amazing colourful plots for subsequent analysis;
  • Returns statistics for equally weighted portfolios, max-return under equally weighted risk, min-risk under equally weighted return, and maximum Sharpe ratio (for simplicity, the ratio of returns to risk, assuming there is no risk-free asset);
  • Tests these 4 portfolios out of sample for 1 year (“if one started trading one year ago, what would one have obtained”).

Two sets of stocks were chosen: most lucrative U.S. companies and most lucrative Russian companies. This is what one gets if one chooses 13 top U.S. companies:

library(imputeTS) # For imputation
library(randtoolbox) # For Sobel sampling
syms <- c("GOOG", "AAPL", "JPM", "BRK-A", "WFC", "MCD", "BAC", "MSFT", "AMZN", "JNJ", "C", "MO", "GE")
symnames <- c("Google", "Apple", "J.P. Morgan", "Berkshire Hathaway", "Wells Fargo", "McDonald's",
              "Bank of America", "Microsoft", "Amazon", "Johnson and Johnson", "Citigroup", "Altria group", "General Electric")
cat("Calculating optimal portfolio for US stocks\n")
# syms <- c("SGTZY", "ROSN.ME", "OGZPY", "LUKOY", "SBRCY", "TRNFP.ME", "NILSY", "ALRS.ME", "YNDX")
# symnames <- c("SurgutNefteGas", "RosNeft", "GazProm", "LukOil", "SberBank", "TransNeft",
#               "Norilsk Nickel", "Alrosa", "Yandex")
# cat("Calculating optimal portfolio for Russian stocks\n") <- as.Date("2014-01-01") <- as.Date("2018-08-01")
end.ins <- as.Date("2017-08-01")
dat <- BatchGetSymbols(tickers = syms, =, =
allt <- dat$df.tickers
allt <- allt[!$price.adjusted), ]
dates <- sort(unique(allt$
prices <- data.frame(dates)
prices[, 2:(length(syms)+1)] <- NA
colnames(prices)[2:(length(syms)+1)] <- syms
for (i in syms) {
  datesi <- allt$[as.character(allt$ticker)==i]
  pricesi <- allt$price.adjusted[as.character(allt$ticker)==i]
  prices[match(datesi, dates), i] <- pricesi
  prices[, i] <- zoo(prices[, i], = prices$dates)
  prices[, i] <- na.kalman(prices[, i])
prices2 <- prices
prices[,1] <- NULL
co <- rainbow(length(syms), end=0.75)
png("1-relative-prices.png", 700, 400, type="cairo")
plot(prices[,1]/mean(prices[,1]), col=co[1], lwd=1.5, main="Prices divided by their in-sample mean", xlab="Time", ylab="Ratio")
for (i in 2:length(syms)) {
  lines(prices[,i]/mean(prices[,i]), col=co[i])
legend("topleft", syms, col=co, lwd=1)
rs <- data.frame(rep(NA, nrow(prices)-1))
for (i in syms) {
  rs[, i] <- diff(log(prices[, i]))
rs[,1] <- NULL
w0 <- rep(1/length(syms), length(syms))
names(w0) <- syms
rmean <- zoo(as.numeric(as.matrix(rs) %*% w0), = time(rs[,1]))
a <- table(as.numeric(format(time(rmean), "%Y")))
daysperyear <- mean(a[1:(length(a)-1)]) # Because the last year is incomplete
rsfull <- rs # Full sample
rs <- rs[time(rs[,1]) <= end.ins, ] # Training sample
rsnew <- rsfull[time(rsfull[,1]) > end.ins, ] # Test sample
meanrs <- colMeans(rs)
covrs <- cov(rs)
musigma <- function(w) {
  mu <- sum(meanrs * w)*daysperyear
  s <- sqrt((t(w) %*% covrs %*% w) * daysperyear)
  return(c(mu=mu, sigma=s, ratio=mu/s))
m0 <- musigma(w0)
num.workers <- if (.Platform$OS.type=="windows") 1 else detectCores()
MC <- 108000
iters <- 100
cc <- 150 # How many colours
cols <- rainbow(cc, end = 0.75)
sharpecuts <- seq(-0.1, 1.5, length.out = cc)
png("2-portfolios.png", 700, 600, type="cairo")
# First iteration
cat("Calculating", MC, "portfolios for the first time.\n")
ws <- halton(MC, length(syms), init=TRUE)
ws <- ws/rowSums(ws)
colnames(ws) <- syms
res <- mclapply(1:MC, function(i) musigma(ws[i, ]), mc.cores = num.workers)
res <-, use.names = FALSE), nrow=MC, byrow = TRUE))
colnames(res) <- c("mean", "sd", "ratio")
prcmu0 <- ecdf(res$mean)(m0[1]) # Which quantile is the mean
prcsd0 <- ecdf(res$sd)(m0[2]) # Which quantile is the sd
qmplus <- quantile(res$mean, prcmu0+0.005)
qmminus <- quantile(res$mean, prcmu0-0.005)
qsplus <- quantile(res$sd, prcsd0+0.005)
qsminus <- quantile(res$sd, prcsd0-0.005)
meanvicinity <- which(res$mean < qmplus & res$mean > qmminus)
sdvicinity <- which(res$sd < qsplus & res$sd > qsminus)
plot(res[,2:1], pch=16, col=cols[as.numeric(cut(res$ratio, breaks = sharpecuts))],
     xlim=range(res$sd)+c(-0.03, 0.03), ylim=pmax(range(res$mean)+c(-0.03, 0.03), c(0, -10)),
     main="Risk and return for various portfolios", xlab="Annualised volatility", ylab="Annualised log-return")
sharpes <- mus <- sds <- array(NA, dim=c(iters+1, length(syms)))
sharpes[1, ] <- ws[which.max(res$ratio), ]
mus[1, ] <- ws[which(res$mean == max(res$mean[sdvicinity])), ]
sds[1, ] <- ws[which(res$sd == min(res$sd[meanvicinity])), ]
pairsm <- pairss <- array(NA, dim=c(iters+1, 3))
pairsm[1, ] <- res$mean[c(which.max(res$ratio), which(res$mean == max(res$mean[sdvicinity])), which(res$sd == min(res$sd[meanvicinity])))]
pairss[1, ] <- res$sd[c(which.max(res$ratio), which(res$mean == max(res$mean[sdvicinity])), which(res$sd == min(res$sd[meanvicinity])))]
for (i in 1:iters) {
  cat("Calculating", MC, "portfolios, iteration", i, "out of", iters, "\n")
  # ws <- sobol(MC, length(syms), scrambling = 1, init=FALSE) # There is a bug in randtoolbox: it starts returning numbers outside [0, 1]
  ws <- halton(MC, length(syms), init=FALSE)
  ws <- ws/rowSums(ws)
  colnames(ws) <- syms
  res <- mclapply(1:MC, function(i) musigma(ws[i, ]), mc.cores = num.workers)
  res <-, use.names = FALSE), nrow=MC, byrow = TRUE))
  colnames(res) <- c("mean", "sd", "ratio")
  meanvicinity <- which(res$mean < qmplus & res$mean > qmminus)
  sdvicinity <- which(res$sd < qsplus & res$sd > qsminus)
  maxsh <- which.max(res$ratio)
  maxm <- which(res$mean == max(res$mean[sdvicinity]))
  minsd <- which(res$sd == min(res$sd[meanvicinity]))
  sharpes[i+1, ] <- ws[maxsh, ]
  mus[i+1, ] <- ws[maxm, ]
  sds[i+1, ] <- ws[minsd, ]
  pairsm[i+1, ] <- res$mean[c(maxsh, maxm, minsd)]
  pairss[i+1, ] <- res$sd[c(maxsh, maxm, minsd)]
  points(res[,2:1], pch=16, col=cols[as.numeric(cut(res$ratio, breaks = sharpecuts))])
  rm(res); gc()
points(as.numeric(pairss), as.numeric(pairsm))
sharpems <- apply(sharpes, 1, musigma)
wmaxsharpe <- sharpes[which.max(sharpems[3,]), ]
meanms <- apply(mus, 1, musigma)
wmaxmean <- mus[which.max(meanms[1,]), ] # Maximum returns while SD is the same
sdms <- apply(sds, 1, musigma)
wminsd <- sds[which.min(sdms[2,]), ] # Minimum SD while mean is the same
m1 <- musigma(wmaxsharpe)
m2 <- musigma(wmaxmean)
m3 <- musigma(wminsd)
finalstats <- cbind(rbind(w0, wmaxsharpe, wmaxmean, wminsd), rbind(m0, m1, m2, m3))
rownames(finalstats) <- c("Equal", "MaxSharpe", "MaxReturn", "MinRisk")
colnames(finalstats)[(length(syms)+1):(length(syms)+3)] <- c("RInS", "VInS", "SRInS")
points(m0[2], m0[1], cex=3, pch=16)
points(c(m1[2], m2[2], m3[2]), c(m1[1], m2[1], m3[1]), cex=2, pch=16)
# And now checking these revenues on the test sample
r0 <- zoo(as.numeric(as.matrix(rsnew) %*% w0), = time(rsnew[,1]))
r1 <- zoo(as.numeric(as.matrix(rsnew) %*% wmaxsharpe), = time(rsnew[,1]))
r2 <- zoo(as.numeric(as.matrix(rsnew) %*% wmaxmean), = time(rsnew[,1]))
r3 <- zoo(as.numeric(as.matrix(rsnew) %*% wminsd), = time(rsnew[,1]))
png("3-test-sample-returns.png", 700, 400, type="cairo")
plot(r0, main="Out-of-sample returns of weighted portfolios", ylab="Return", xlab="Time")
lines(r1, col=2)
lines(r2, col=3)
lines(r3, col=4)
legend("topright", c("Equal", "Sharpe", "Max. return", "Min. volatility"), col=1:4, lwd=1)
png("4-test-sample.png", 700, 400, type="cairo")
plot(exp(cumsum(r0)), ylim=c(0.6, 1.4), main="Portfolio growth over the last year in the test sample", ylab="Relative growth", xlab="Time")
lines(exp(cumsum(r1)), col=2)
lines(exp(cumsum(r2)), col=3)
lines(exp(cumsum(r3)), col=4)
legend("bottomleft", c("Equal", "Sharpe", "Max. return", "Min. volatility"), col=1:4, lwd=1)
finals <- cbind(r0, r1, r2, r3)
meanf <- colMeans(finals)*daysperyear
sdf <- apply(finals, 2, sd)*sqrt(daysperyear)
finalsoos <- cbind(meanf, sdf, meanf/sdf)
colnames(finalsoos) <- c("ROOS", "VOOS", "SRROS")
finalstats <- cbind(finalstats, finalsoos)
colnames(finalstats)[1:length(syms)] <- symnames
stargazer(t(finalstats), summary = FALSE, type="html", out="a.html")
write.csv(prices2, "stocks.csv", row.names = FALSE)

This is how the 13 U.S. stocks behaved.

Relative prices of top U.S. stocks

This is how 10 million random portfolios behaved (black dots indicate 100 best portfolios under the three criteria; big black dot for the equally weighted portfolio).

Return and risk of various U.S. portfolios

These are portfolio weights for U.S. companies with their performance.

Equal MaxSharpe MaxReturn MinRisk
Google 0.077 0.011 0.004 0.052
Apple 0.077 0.132 0.128 0.105
J.P. Morgan 0.077 0.133 0.099 0.028
Berkshire Hathaway 0.077 0.019 0.040 0.170
Wells Fargo 0.077 0.003 0.008 0.025
McDonald's 0.077 0.164 0.148 0.192
Bank of America 0.077 0.030 0.034 0.036
Microsoft 0.077 0.078 0.180 0.022
Amazon 0.077 0.088 0.161 0.005
Johnson & Johnson 0.077 0.138 0.064 0.138
Citigroup 0.077 0.003 0.003 0.009
Altria group 0.077 0.198 0.131 0.142
General Electric 0.077 0.003 0.001 0.078
Return in-sample 0.145 0.179 0.190 0.145
Risk in-sample 0.142 0.128 0.141 0.119
Sharpe ratio in-sample 1.023 1.395 1.345 1.217
Return in 2017.07–2018.06 0.135 0.163 0.241 0.053
Risk in 2017.07–2018.06 0.144 0.134 0.146 0.130
Sharpe ratio in 2017.07–2018.06 0.941 1.218 1.657 0.404

This is how these four U.S. portfolios look out of sample.

Returns for different optimal U.S. portfolios out-of-sample

If one had invested in these four portfolios a year before, this is what one would have harvested by now.

Cumulative growth of one's investments into U.S. stocks

And this is the result for top 9 Russian companies.

This is how the 9 Russian stocks behaved.

Relative prices of top Russian stocks

This is how 10 million random portfolios behaved (black dots indicate 100 best portfolios under the three criteria; big black dot for the equally weighted portfolio).

Return and risk of various Russian portfolios

Note that some portfolios can actually yield negative returns, and the volatility is generally higher!

These are portfolio weights for Russian companies with their performance.

Equal MaxSharpe MaxReturn MinRisk
SurgutNefteGas 0.111 0.005 0.009 0.175
RosNeft 0.111 0.162 0.031 0.269
GazProm 0.111 0.012 0.068 0.067
LukOil 0.111 0.018 0.083 0.037
SberBank 0.111 0.038 0.031 0.014
TransNeft 0.111 0.248 0.016 0.213
Norilsk Nickel 0.111 0.079 0.381 0.044
Alrosa 0.111 0.413 0.358 0.049
Yandex 0.111 0.026 0.022 0.131
Return in-sample 0.055 0.227 0.172 0.055
Risk in-sample 0.245 0.218 0.245 0.218
Sharpe ratio in-sample 0.223 1.042 0.701 0.250
Return in 2017.07–2018.06 0.202 0.164 0.223 0.164
Risk in 2017.07–2018.06 0.179 0.170 0.215 0.153
Sharpe ratio in 2017.07–2018.06 1.129 0.965 1.039 1.067

This is how these four Russian portfolios look out of sample.

Returns for different optimal Russian portfolios out-of-sample

If one had invested in these four portfolios a year before, this is what one would have harvested by now.

Cumulative growth of one's investments into Russian stocks

So actually if one used this investing strategy based on the information available in mid-2017, by now, depending on the criterion (Sharpe ratio or maximum profitability) they would have earned 14–22% on Russian stocks or 15–17% on American stocks!

TODO: constrained optimisation using the best stochastic solution as a starting point.


Why are you still here? Why are you not trading yet?

Using Twitter to model voters’ attitude towards presidential candidates: a case for Russia in 2018

NB. Any opinions that might be critical of the political system of Russia are justified by the fact that the author is a citizen of Russia himself, and retains the right to give opinions, or commentary, or judgement.


Twitter has been known to serve as a news publication machine that drives the attention of mass media and shapes the preferences of voters; a good example of this would be the presidential elections in the USA in 2016 (Kapko, 2016). Presidential candidates were using this medium to communicate to voters directly and express their opinions outside presidential debates. It has been speculated that predictions made based on Twitter data can perform better than those obtained by robocalls or by examining the distribution of lawn signs.

Sometimes, as in the case with Donald Trump, using free-wheeling speech style can be really beneficial because it reassures voters that their candidates speaks what (s)he thinks. Candidates' tweets are news per se, and news agencies can easily get the low-hanging fruit by just re-publishing them and giving their own interpretation. Besides that, Twitter provides an opportunity to engage into a direct dialogue between the candidates and voters via the feature of directed tweets. Celebrities and influential people often respond directly to the candidates, which drives the evolution of voters' views. It has been noted that often it is clear who is writing the tweet: the candidate him/herself or his/her staffers.

As good as it may sound, there are obvious drawbacks to Twitter. First and foremost, it seems almost impossible to fit a meaningful argument within the limit of 140 (now 280) characters. As a result, it causes oversimplification of discourse. Another point is debatable: as soon as something is posted on Twitter, it is impossible to fully withdraw the tweet if someone else has noticed it. This can be both a drawback and a strong point: as soon as lewd material is posted, the poster bears full responsibility for it, and experiences all potential backlash.

Twitter as a predictor for election results has been rigorously analysed by researchers in the past. In fact, such analyses were applied to the 2010 Australian elections (Burgess and Bruns, 2012), 2010 Swedish elections (Larsson and Moe, 2012), 2011 Dutch elections (Sang and Bos, 2012), 2012 USA elections (Wang et al., 2012), 2015 Venezuelan elections (Yang, Macdonald and Ounis, 2017), 2016 USA elections (Bessi and Ferrara, 2016) etc. Some of them are using convolutional neural networks, some of them are applying clever tools to avoid misclassification, but some of them rely on a simple count of words from positive and negative dictionaries. We are going to adopt this simple approach in an attempt to analyse Russian data and evaluate the balance of powers (or lack thereof) in Russia.

In this work, I am using big data (70 000 tweets in total) and big data processing tools (Google Translate API) to investigate the relative popularity of candidates in the Russian presidential election of 2018. The methodology will be similar to that of Bhatia (2015).


In this work, I develop a simple method to analyse the sentiment towards election candidates in arbitrary languages using Google Translate. It should be noted that as the moment of writing, Google is offering a free $300 trial for its Cloud API, so the author made use of his free access to the machine translation services. The workflow is as follows:

  1. Using R and twitteR package, obtain a large number (10 000) tweets mentioning the candidate;
  2. Break the tweets into small batches (100 tweets per batch separated with triple paragraphs) and write scripts for translation;
  3. Using Google Cloud Translation API, run the translation scripts and obtain the server response as a JSON object;
  4. Input the JSON object into R, break it into separate tweets again and clean up the text;
  5. Count the positive and negative words in those tweets using dictionaries and analyse the distributions.

Obviously, the main drawback of the simple dictionary match is the lack of context. There are examples of why this might return wrong results. Example 1: “Mr. X is going to put an end to corruption!” This author has a positive attitude towards Mr. X, but due to the presence of a negative word (“corruption”), is going to be counted as negative. Example 2: “@newsagency Yes, of course, Mr. Y is going to improve the situation, yeah, like, thousand times!” This is an example of irony; the attitude of this tweet is negative and sceptical, but the simple count will find a positive match (“improve”) and count this tweet as positive. Example 3: “Mr. Z is not honest!”

To counter these three points, an argument should be made. The error from the first category does not change much in terms of emotional attitude; if candidate X is viewed as a corruption fighter, the writer implies that the situation in the country is grave (hence the need to fight), and this negative score should be counted towards the general level of negativity, not just the negativity associated with candidate X. If candidates Y and Z also claim they are going to fight corruption, then all these negative votes will contribute to a fixed proportion of false negatives (say, n%), and the ratio of negative to positive votes should not change. This implies that ratios, not absolute values should be examined. The error from the second category is so semantically complicated that is it improbable that any advanced methods (including machine learning and neural networks) based on pure text analysis are going to detect irony and correctly interpret it in a negative sense. However, the proportion of such tweets is thought to be low, and an advanced user-based analysis is suggested in this case: if a user is generally opposing candidate Y (or is pessimistic in general), then any tweets with positive score about candidate Y should be re-weighted or discarded as “implausible”. The error from the third category, however, can be remedied with the use of multi-layered neural network or contextual analysis algorithms with look-ahead and look-behind: if the word from the “positive” list is preceded by “not”, “no”, “barely” or followed by “my a**” or other similar modifiers, the match should be counted for the “negative” list, and vice versa.


Searching for tweets

Assumption 1. During the period from 2018-01-01 to 2018-03-18, any tweet containing the surname of a candidate is meant to be about the candidate, not his namesake.

This assumption allows us to identify tweets about the presidential candidates by a simple search using the name of the candidate. The candidates seem to have quite unique surnames, and almost all media covering people with their surnames are covering namely those people.

Assumption 2. There is no bias in Twitter search results; i. e., Twitter is not being in favour of any candidate, or is not filtering negative search results, or is not affected by spam bots who praise candidates.

This assumption is crucial for the unbiasedness of our results; so far, there have been no signs of Twitter censorship in Russia. However, there might be a population bias: people who are using Twitter can turn out to be younger and more progressive, and therefore, more opposing to the current political leader, Putin. It means that whereas most tweets about Putin on Twitter can come from a minority of political opposition, the majority of Putin voters are budget-depending elderly people and beneficiaries who live in faraway regions without internet access or any desire to express their opinions publicly.

api_key <- "..."
api_secret <- "..."
access_token <- "..."
access_token_secret <- "..."
setup_twitter_oauth(api_key, api_secret, access_token, access_token_secret)
find1 <- "Путин"
find2 <- "Бабурин"
find3 <- "Грудинин"
find4 <- "Жириновский"
find5 <- "Собчак"
find6 <- "Сурайкин"
find7 <- "Титов"
find8 <- "Явлинский"
find9 <- "Навальный"
finds <- c(find1, find2, find3, find4, find5, find6, find7, find8, find9)
number <- 10000
tweet1 <- searchTwitter(find1, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet2 <- searchTwitter(find2, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet3 <- searchTwitter(find3, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet4 <- searchTwitter(find4, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet5 <- searchTwitter(find5, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet6 <- searchTwitter(find6, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet7 <- searchTwitter(find7, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet8 <- searchTwitter(find8, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
tweet9 <- searchTwitter(find9, n=number, lang="ru", since="2018-01-01", until="2018-03-18")
save(tweet1, tweet2, tweet3, tweet4, tweet5, tweet6, tweet7, tweet8, tweet9, file="tweets.RData")

Breaking the tweets for translation

A simple snippet of code is suggested below to translate the long and heavy objects on Google Translate. As we know, Google charges API users on a character basis (as of writing, $20 per 1 million characters), with virtually no limit for translation (if the proper quotas are set to be infinite). However, just in order to be sure that the translations are made in time and no information is lost, we broke the messages into blocks of 100 tweets.

byhow <- 100
for (cand in 1:9) {
  texts <- get(paste0("tweet", cand))
  blocks <- ceiling(length(get(paste0("tweet", cand)))/byhow)
  for (i in 1:blocks) {
    sink(paste0("scripts", cand, "/scr", i, ".sh"))
    fr <- byhow*(i-1)+1
    to <- byhow*(i-1)+byhow
    curl -s -X POST -H "Content-Type: application/json" \\
    -H "Authorization: Bearer "$(gcloud auth print-access-token) \\
    --data "{
      \'q\': \'
      if (to > length(texts)) to <- length(texts)
      for (j in fr:to) {
        a <- texts[[j]]$text
        a <- gsub("['\"`]", "", a)
      \'source\': \'ru\',
      \'target\': \'en\',
      \'format\': \'text\'
    }" ""

Therefore, for each of the nine candidates, it will write out up to 100 script files into a corresponding folder.

Using Google Translate API

Once the script files, titled, ..., are ready, all that remains is run them in series with a time-out (since Google API has a character-per-minute quota).

for i in {1..100}
  echo "Processing tweet file $i of 100"
  ./scr$ > out$i.txt
  sleep 12

This script must be run in every folder (1–9), and the translation results will be stored in files out1.txt, ..., out100.txt (or up to the number of tweets divided by 100 if the candidate was not very popular).

Merging the objects into tweet lists

A simple for loop (for 9 candidates, from 1 to the number of output files) is required to merge the data back.

alltrans <- list()
for (cand in 1:9) {
  lf <- list.files(paste0("./scripts", cand, "/"))
  lf <- lf[grep("out", lf)]
  howmany <- length(lf)
  alltrans[[cand]] <- list()
  for (i in 1:howmany) {
    a <- fromJSON(readLines(paste0("scripts", cand, "/out", i, ".txt")))
    a <- a[[1]]$translations$translatedText
    aa <- strsplit(a, "\n\n\n")[[1]]
    aa <- gsub("@ +", "@", aa)
    aa <- gsub("^\n +", "", aa)
    aa <- aa[aa!=""]
    alltrans[[cand]][[i]] <- aa
    if (! i%%10) print(paste0("Candidate ", cand, ": ", i, " out of ", howmany))
clean <- function(t) {
  t <- gsub('[[:punct:]]', '', t)
  t <- gsub('[[:cntrl:]]', '', t) 
  t <- gsub('\\d+', '', t)
  t <- gsub('[[:digit:]]', '', t)
  t <- gsub('@\\w+', '', t)
  t <- gsub('http\\w+', '', t)
  t <- gsub("^\\s+|\\s+$", "", t)
  t <- gsub('"', '', t)
  t <- strsplit(t,"[ \t]+")
  t <- lapply(t, tolower)
alltrans2 <- lapply(alltrans, unlist)
alltrans3 <- lapply(alltrans2, clean)

As we see, this clean-up included removing punctuation, control characters, URLs, and digits from the tweets, and then splitting them at spaces or tabs. For matching, conversion to lowercase was used.

Analysing sentiments

First and foremost, let us look at the distributions of positive and negative tweet counts for various candidates.

positive <- scan('positive-words.txt', what='character', comment.char=';')
negative <- scan('negative-words.txt', what='character', comment.char=';')
posscore <- function(tweet) {
pos.match <- match(tweet, positive)
pos.match <- !
pos.score <- sum(pos.match)
negscore <- function(tweet) {
neg.match <- match(tweet, negative)
neg.match <- !
neg.score <- sum(neg.match)
posscores <- list()
negscores <- list()
for (i in 1:9) {
posscores[[i]] <- unlist(lapply(alltrans3[[i]], posscore))
negscores[[i]] <- unlist(lapply(alltrans3[[i]], negscore))
poscounts <- lapply(posscores, table)
negcounts <- lapply(negscores, table)
cols <- rainbow(10)
cairo_pdf("counts1.pdf", 7, 5)
plot(NULL, NULL, xlim=c(0, 6.7), ylim=c(0, 7516), main = "Positive tweet counts for candidates", ylab = "Tweets", xlab="Positive words in a tweet")
for (j in 1:9) {
for (i in 1:length(poscounts[[j]])) {
lines(c(i-1 + (j-1)/10, i-1 + (j-1)/10), c(0, poscounts[[j]][i]), lwd=5, col=cols[j])
legend("topright", finds, lwd=5, col=cols)
cairo_pdf("counts2.pdf", 7, 5)
plot(NULL, NULL, xlim=c(0, 6.7), ylim=c(0, 7516), main = "Negative tweet counts for candidates", ylab = "Tweets", xlab="Negative words in a tweet")
for (j in 1:9) {
for (i in 1:length(negcounts[[j]])) {
lines(c(i-1 + (j-1)/10, i-1 + (j-1)/10), c(0, negcounts[[j]][i]), lwd=5, col=cols[j])
legend("topright", finds, lwd=5, col=cols)

Distribution of positive word counts

Distribution of negative word counts

Fig. 1. Distribution of tweets

Since there is no real political competition to Putin (position 1) among the present candidates (positions 2–8), let us pay some attention to his closest political rival who was denied access to the elections, Navalny (position 9). As we can see from Fig. 1, the number of tweets related to Putin and containing 1–2 positive words is smaller than that related to Navalny. At the very same time, paradoxically, the number of tweets related to Putin and containing 1–2 negative words is also smaller than that of Navalny.

totpos <- numeric(9)
totneg <- numeric(9)
for (i in 1:9) {
totpos[i] <- sum(poscounts[[i]] * as.numeric(names(poscounts[[i]])))
totneg[i] <- sum(negcounts[[i]] * as.numeric(names(negcounts[[i]])))
# Ordering candidates not alpabetically but as they are in the database
a <- factor(finds)
finds <- factor(a, levels(a)[c(5, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 4)])
ratios <- totpos/totneg
ratiosdf <- data.frame(ratio=ratios, name=finds)
p <- ggplot(data=ratiosdf, aes(x=name, y=ratio, fill=name)) + geom_bar(stat="identity") + ylab("Positive/negative ratio") +
theme_minimal() + coord_flip() + scale_x_discrete(limits = rev(levels(ratiosdf$name))) + theme(legend.position="none", axis.title.y=element_blank())
cairo_pdf("ratios.pdf", 8, 7)

Ratio of positive to negative tweet counts

Fig. 2. Tweet sentiment ratios for candidates

It is unsurprising that that the ratio for Navalny, who is known as a fighter against corruption, is lower than that of Putin, despite the fact that there is a substantial number of opposing bloggers, due to the fact that the word “corruption” is negative per se. In general, only one candidate (Grudinin) has this ratio greater or equal to one. This means that tweets containing the names of political leaders are negative in tone in general.

Now it it time to see which words were the top positive and top negative for each candidate.

poswords <- function(tweets) {
pmatch <- match(t, positive)
posw <- positive[pmatch]
posw <- posw[!]
negwords <- function(tweets) {
pmatch <- match(t, negative)
negw <- negative[pmatch]
negw <- negw[!]
pdata <- list()
ndata <- list()
for (j in 1:9) {
pdata[[j]] <- ""
ndata[[j]] <- ""
for (t in alltrans3[[j]]) {
pdata[[j]] <- c(poswords(t), pdata[[j]])
ndata[[j]] <- c(negwords(t), ndata[[j]])
pfreqs <- lapply(pdata, table)
nfreqs <- lapply(ndata, table)
dpfreq <- list()
dnfreq <- list()
for (j in 1:9) {
thresh <- length(alltrans2[[j]])/200
a <- pfreqs[[j]]
a <- a[a>thresh]
b <- nfreqs[[j]]
b <- b[b>thresh]
dpfreq[[j]] <- data.frame(word=as.character(names(a)), freq=as.numeric(a))
dpfreq[[j]]$word <- as.character(dpfreq[[j]]$word)
dnfreq[[j]] <- data.frame(word=as.character(names(b)), freq=as.numeric(b))
dnfreq[[j]]$word <- as.character(dnfreq[[j]]$word)
for (j in 1:9) {
p1 <- ggplot(dpfreq[[j]], aes(word, freq)) + geom_bar(stat="identity", fill="lightblue") + theme_bw() +
geom_text(aes(word, freq, label=freq), size=4) + labs(x="Major Positive Words", y="Frequency of Occurence",
title=paste0("Major Positive Words and Occurence for \n", finds[j], ", n = ", length(alltrans2[[j]]))) + 
p2 <- ggplot(dnfreq[[j]], aes(word, freq)) + geom_bar(stat="identity", fill="pink") + theme_bw() +
geom_text(aes(word, freq, label=freq), size=4) + labs(x="Major Negative Words", y="Frequency of Occurence",
title=paste0("Major Negative Words and Occurence for \n", finds[j], ", n = ", length(alltrans2[[j]]))) + 
cairo_pdf(paste0("posw", j, ".pdf"),  2+nrow(dpfreq[[j]])/8, 5)
cairo_pdf(paste0("negw", j, ".pdf"),  2+nrow(dnfreq[[j]])/8, 5)

Positive words for Putin
Negative words for Putin

Positive words for Baburin
Negative words for Baburin

Positive words for Grudinin
Negative words for Grudinin

Positive words for Zhirinovsky
Negative words for Zhirinovsky

Positive words for Sobchak
Negative words for Sobchak

Positive words for Surajkin
Negative words for Surajkin

Positive words for Titov
Negative words for Titov

Positive words for Yavlinsky
Negative words for Yavlinsky

Positive words for Yavlinsky
Negative words for Navalny

Fig. 3. Most frequent positive and negative words for candidates

We defined “most frequent” words as words whose count exceeded the total number of tweets divided by 200. There is just one small problem: such generic words as “like” and “right”, “well” etc. are on this table. We can remedy that by manually constructing a table of most popular meaningful positive and negative words for candidates (Table 1).

Candidate 1st + word 2nd + word 1st − word 2nd − word
Putin support 275 popular 252 problems 224 protests 153
Baburin important 30 right 27 curses 340 shit 235
Grudinin interesting 416 respect 266 dirty 232 poor 160
Zhirinovsky benefit 225 entertain 206 curses 339 whore 333
Sobchak useful 165 truthful 149 whore 571 beg 410
Surajkin free 86 regard 61 provocation 348 curses 339
Titov works 51 ready 30 shit 284 scandal 237
Yavlinsky liberty 91 great 83 sorry 339 shit 294
Navalny top 232 good 181 strike 355 boycott 352

Table 1. Two most frequent meaningful words for candidates


We can make several conclusions. First, several candidates (Baburin, Surajkin, Titov, Yavlinsky) are so unpopular that they were not mentioned 10 000 times over the course of 2.5 months since the beginning of 2018, which implies that they were added to the list of approved candidates to create the illusion of choice; they cannot compete against the obvious leader of the race. Next, on average, people tweet about politicians when they are discontent with something; it is reflected in the average negative score of tweets, except for Putin and Grudinin. Some politicians (Zhirinovsky, Sobchak) are viewed as politically promiscuous, which is reflected in the word frequency analysis. This all creates the illusion of choice presence, whereas most of the population of Russia does not have access to Twitter, or are not politically engaged, or are dependent on the subsidies issued by the present government, or cannot fully explore the majority of opposing opinions because they are carefully filtered out of the central and official media.


Bessi, Alessandro and Emilio Ferrara (2016). ‘Social bots distort the 2016 US Presidential election online discussion’.

Bhatia, Aankur (2015). Twitter Sentiment Analysis Tutorial. Rpubs.

Burgess, Jean and Axel Bruns (2012). ‘(Not) the Twitter election: the dynamics of the #ausvotes conversation in relation to the Australian media ecology’. Journalism Practice 6.3, pp. 384–402.

Kapko, Matt (2016). Twitter’s impact on 2016 presidential election is unmistakable. CIO.

Larsson, Anders Olof and Hallvard Moe (2012). ‘Studying political microblogging: Twitter users in the 2010 Swedish election campaign’. New Media & Society 14.5, pp. 729–747.

Sang, Erik Tjong Kim and Johan Bos (2012). ‘Predicting the 2011 dutch senate election results with twitter’. Proceedings of the workshop on semantic analysis in social media. Association for Computational Linguistics, pp. 53–60.

Wang, Hao et al. (2012). ‘A system for real-time twitter sentiment analysis of 2012 us presidential election cycle’. Proceedings of the ACL 2012 System Demonstrations. Association for Computational Linguistics, pp. 115–120.

Yang, Xiao, Craig Macdonald and Iadh Ounis (2017). ‘Using word embeddings in twitter election classification’. Information Retrieval Journal, pp. 1–25.

Что делать, если в майские праздники укусила собака?

Скоро грядут майские праздники (причём по уровню нелепости названия День весны и труда можно приравнять только ко Дню зимы и Петропавловской крепости), и парки наводнят владельцы бульдогов, бультерьеров и прочих бульбазавров. Что делать, если вы мирно тарахтели на своём велосипеде по прогулочной дорожке, а на вас внезапно выскочил рычащий Баргест и укусил вас за самое дорогое, что у вас есть, — за мясистую ляжку?

Так вот, математика даёт ответ на этот непростой вопрос. Надо было заранее решить математическую задачу!

Задача. На улице на прямой пешеходной дорожке стоит хозяин с собакой на натянутом поводке длины \(r\) (поводок натянут параллельно дорожке). На расстоянии \(l < r\) по велосипедной дорожке, параллельной пешеходной дорожке, едет велосипедист со скоростью \(v_2\). Как только велосипедист попадает в радиус досягаемости собаки (радиус поводка) в момент \(t_0\), она бежит к нему по траектории, минимизирующей время от момента попадания велосипедиста в предел досягаемости до укуса, со скоростью \(v_1\).

  • Найдите предельное значение скорости велосипедиста \(v_2(v_1, l, r)\), при котором собака не сможет его укусить.
  • В предположении, что при данных параметрах \(r\), \(l\), \(v_1\), \(v_2\) существует траектория, позволяющая собаке успеть добежать до велосипедиста и укусить его, выведите уравнение этой траектории \(x(t), y(t)\) и рассчитайте время \(t^*\), которое пройдёт с момента \(t_0\) до укуса.

P.S. Наверно, вам давно глаза не резали скверные и наспех сделанные иллюстрации? Так вот нате, вот, пожалуйста вам в шапочку...

О вреде дробления выборки

Предположим, изначально у нас было одно полное облако точек. Мы разделили его на три непересекающихся подмножества (обозначены цветами). В каждом из цветных облаков есть значимая взаимосвязь между переменными \(X\) и \(Y\), которую обнаруживают любые регрессионные методы (приведены три: классический МНК, квантильная регрессия при \(q=0{,}5\) и локально линейная регрессия первой степени).

Ложные значимые эффекты на подвыборках

Однако если взглянуть на изначальное облако из всех точек всех трёх цветов, то эффекта никакого не будет (эта ничтожно слабая и малозначимая зависимость показана толстой чёрной линией). Получается парадокс: если индивид относится к зелёной подвыборке, то в ней влияние \(X\) на \(Y\) есть. То же верно и для всех остальных подвыборок. Везде эффект положительный! Однако одновременно для всех точек никакого эффекта нет.

Зависимая переменная: Y
Вся выборка Синие Зелёные Красные
X 0.013 0.839*** 0.482*** 0.598***
(0.030) (0.024) (0.048) (0.046)
Константа 0.004 0.013 -1.202*** 1.245***
(0.031) (0.019) (0.055) (0.053)
Наблюдений 1000 386 307 307
R2 0.0002 0.756 0.252 0.361
Adjusted R2 -0.001 0.755 0.250 0.359
Residual Std. Error 0.981 (df = 998) 0.373 (df = 384) 0.667 (df = 305) 0.640 (df = 305)
F Statistic 0.198 (df = 1; 998) 1,187.609*** (df = 1; 384) 102.762*** (df = 1; 305) 172.266*** (df = 1; 305)
Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

Вывод: чем более избирательно исследователь будет составлять выборку для исследования («пожилое коренное население, которое до этого трудилось на работах, не требующих высокой квалификации»), тем больше вероятность, что он что-нибудь да обнаружит... и что эта находка будет ложной.

Код для репликации в R (отчего-то плагин глючит и склеивает всё в строку):

n <- 1000; set.seed(100); x <- rnorm(n); y <- rnorm(n); th <- 0.7; g1 <- (y < x + th) & (y > x - th);
g2 <- (y <= x - th); g3 <- (y >= x + th);
m <- lm(y~x); m1 <- lm(y~x, subset=g1); m2 <- lm(y~x, subset=g2); m3 <- lm(y~x, subset=g3)

seed не должен быть ручным

Правило 1. Для того чтобы любой эксперимент Монте-Карло был воспроизводим, генератору псевдослучайных чисел необходимо сообщить seed — начальное число, с которого пойдёт поток чисел. Если при использовании одного и того же алгоритма я перед каждой процедурой генерирования случайных чисел задаю тот же seed, что и вы, то у нас не могут получиться разные результаты. В этом и состоит псевдослучайность.

Правило 2. Если вам нужно получить несколько независимых случайных величин, не устанавливайте один и тот же seed. Для воспроизводимости принципиально установить его вообще. Если в исследовании требуются три случайные переменные: \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) — и чтобы каждая имела распределение \(\mathcal{U}[\underline{x}\vphantom{x}_i;\overline{x}\vphantom{x}_i]\), ни в коем случае не пишите так:

set seed 100
series K=randgen(u,10,30)
set seed 100
series L=randgen(u,20,40)
set seed 100
series M=randgen(u,-50,50)

Это приведёт к вырождению процесса и к тому, что между случайными величинами будет абсолютная мультиколлинеарность (они будут равны друг другу с точностью до линейного преобразования), а коэффициент корреляции будет равен 1. Это ещё хуже, чем компьютер RANDU, у которого «каждое число случайно само по себе, но не гарантируется того же для большего их количества», а единичная корреляция следует из соотношения \(x_{k+2}=6x_{k+1}-9x_{k}\).


Хороший эконометрист всегда задаёт большие и как можно более отличные друг от друга сиды и записывает их в надёжное место. Отличный эконометрист генерирует случайные сиды и записывает начальный сид для генератора сидов; отличный эконометрист всегда должен мыслить на один уровень случайности выше.

set seed 100
series K1=randgen(u,10,30)
set seed 200
series L1=randgen(u,20,40)
set seed 300
series M1=randgen(u,-50,50)

A truly random 3-dimensional uniform distribution

Не надо думать, что зиккурат-алгоритм или алгоритм Бокса—Мюллера вывезет. Не вывезет!

Если вам необходимо прогнать цикл из 10 000 симуляций, установите сид для первой симуляции и не трогайте его, пока не закончится десятитысячная. У современных генераторов достаточно длинные периоды, чтобы не зациклиться даже на миллионе циклов. Алгоритм KISS («Keep it Simple Stupid», или «Не усложняй, придурок») обладает периодом, бо́льшим на 40 порядков, чем число атомов во Вселенной. Если вам необходимо воспроизвести 6 234-ю итерацию, не надо задавать вручную все 10 000, а затем выбирать 6 234-й, нет! Достаточно после каждого цикла в некоторую переменную записывать состояние датчика случайных чисел (random number generator state, или начальное значение, которое он выбрал себе сам для новой итерации), а затем для воспроизведения 6234-й итерации взять seed из полученной переменной. Не обесчещивайте славное имя Джорджа Марсальи, посмотрите в руководство пользователя или исходный код, найдите переменную, в которую записывается состояние датчика, и копируйте её значения в летописи.

Вторая причина, по которой не надо устанавливать seed вручную, — это плохая «случайность» чисел, получаемых с ручным сидом. Если вы получили 50 000 значений случайной переменной и хотите получить ещё 50 000, надо быть волшебником, чтобы при выставлении второго сида не наткнуться на начальное значение, которое уже проскакивало в первом цикле итераций, иначе части первой и второй последовательностей псевдослучайных чисел могут совпасть! Это смертный приговор специалисту по временным рядам или исследователю систем бинарных уравнений, где у ошибок-инноваций не должно быть корреляции со всеми предыдущими значениями случайной переменной. А у вас стоит идеальная машина, изготовленная по технологическому процессу 22 нм (диаметр среднего атома всего лишь в сто раз меньше), куда подаётся ток совершенно определённой силы, поэтому положение каждого электрона в машине детерминировано, и это не даёт возможности получить истинно случайные числа. Вот что вы будете делать с абсолютной корреляцией и единичными корнями, которые возникли только потому, что вы своим указующим перстом установили seed, совпавший с тем, который использовался для 49 998-го значения? Л’Экюйера и Симара на вас не хватает (TestU01, Pierre L’Ecuyer, Richard Simard).

Википедисты шутят — типографы смеются

Необычный пример злоупотребления «чёрточками», с которым довольно трудно что-либо поделать. Пример из статьи «Брана» (по состоянию на 05.09.13):

Membrane punctuation

Ещё раз посмотрим на это. «Инстантон — (−1)-брана». Тире, минус, дефис. Скажи, если бы они все были одинаковой длины, как бы ты их различил?

Не будь портных, — скажи: как различил бы ты служебные ведомства?

К. Прутков.

Нетрудная математическая задачка

Задача. Найти такие многочлены \(u(x)\), \(v(x)\), что
\[x^m u(x) + (1-x)^n v(x) =1. \]

Решение. Вспомним разложение бинома и запишем его сразу в форме суммы:
\[ 1 = \bigl( x + (1-x) \bigr)^{n+m-1} = \sum\limits_{i=0}^{n+m-1} C^i_{m+n-1} x^i (1-x)^{m+n-1-i} = 1. \]

Разобьём эту сумму от \(i=0\) до \(i=m+n-1\) на две суммы: от \(i=0\) до \(i=m-1\) и от \(i=m\) до \(i=m+n-1\). Из суммы \(\sum\limits_{i=0}^{i=m-1}\) можно будет вынести за знак суммирования \((1-x)^n\), а из суммы \(\sum\limits_{i=m}^{i=m+n-1}\) отлично выносится \(x^m\): эти выражения присутствовали в исходном вопросе. Для удобства сумму, из которой выносится \(x^m\), будем делать не по \(i\), а по \(j\), а сумму с вынесенным \((1-x)\) сделаем по \(k\). Следует пояснить, что \(\sum\limits_{j=m}^{j=m+n-1}\) — это то же, что и \(\sum\limits_{j=0}^{j=n-1}\). Тогда
\[\sum\limits_{i=0}^{n+m-1} C^i_{m+n-1} x^i (1-x)^{m+n-1-i} = \]
\[ = \sum\limits_{j=m}^{m+n-1} C^j_{m+n-1} x^j (1-x)^{m+n-1-j} + \sum\limits_{k=0}^{m-1} C^k_{m+n-1} x^k (1-x)^{m+n-1-k} = \]
\[ = x^m \sum\limits_{j=0}^{n-1} C^{j+m}_{m+n-1} x^j (1-x)^{n-1-j} + (1-x)^n \sum\limits_{k=0}^{m-1} C^k_{m+n-1} x^k (1-x)^{m-1-k} = \]
\[ = x^m u(x) + (1-x)^n v(x) \equiv 1. \]

Почему так важна нормальность ошибок в регрессии

В эконометрике очень полезно, если ошибки имеют нормальное распределение. В таком случае эконометристы сразу могут получить надёжные оценки для ошибок коэффициентов и интервалы для коэффициентов. При этом студентов обычно коварно успокаивают, мол, «если у вас очень много наблюдений, то тогда нормальность появится сама». Хо-хо, чёрта с два. Если у меня величина имеет \(t\)-распределение или, того хуже, равномерное, то нормальности у меня автоматически никакой не появится. Тогда гегемоны-семинаристы говорят: «Ой, ну ладно вам придираться, был доверительный интервал шириной 2,8 — стал шириной 2,9».

Сегодня я покажу, что отсутствие нормальности приводит к куда более страшным последствиям.

Рассмотрим функцию Кобба—Дугласа, и пусть, как всегда, отдача от труда равна \(\frac13\), от капитала — \(\frac23\), производственная функция описывается формулой
\[Y = A \cdot L^\alpha \cdot K^\beta \cdot f(\varepsilon). \]

Очень важно определить, что такое \(f(\varepsilon)\). Если мы хотим получить линейную модель вида
\[\ln Y =\ln A + \alpha \ln L + \beta \ln K +\varepsilon, \]
то при потенцировании должно быть
\[Y = A \cdot L^\alpha \cdot K^\beta \cdot e^{\varepsilon}.\]

Если \(\varepsilon\sim \mathcal{N}(0; 1)\), то как выглядит распределение \(e^{\varepsilon}\)? Давайте посмотрим.

В gretl сгенерируем Add — Random Variable — Normal со средним 0 и стандартным отклонением 1 (команда randgen(N,0,1)). Пускай для надёжности это будет десять тысяч, сто тысяч, миллион случайных величин! Нам же всего лишь график посмотреть, правда?

Summary statistics, using the observations 1 - 1000000
for the variable 'epsilon' (1000000 valid observations)

  Mean                     -0.0013720
  Median                  -0.00026809
  Minimum                     -4.9740
  Maximum                      4.7117
  Standard deviation           1.0007
  C.V.                         729.32
  Skewness                 -0.0015528
  Ex. kurtosis              0.0075161
  5% percentile               -1.6493
  95% percentile               1.6438
  Interquartile range          1.3480
  Missing obs.                      0

Test for normality of epsilon:
 Doornik-Hansen test = 2.76293, with p-value 0.251211
 Shapiro-Wilk W = 0.999998, with p-value 0.999982
 Lilliefors test = 0.000685939, with p-value ~= 0.3
 Jarque-Bera test = 2.75571, with p-value 0.252118

Normal distribution

Normal distribution 2

А вот и экспонента: Add — Define new variable: expepsilon=exp(epsilon).

Summary statistics, using the observations 1 - 1000000
for the variable 'expepsilon' (1000000 valid observations)

  Mean                         1.6477
  Median                      0.99973
  Minimum                   0.0069156
  Maximum                      111.24
  Standard deviation           2.1661
  C.V.                         1.3146
  Skewness                     6.1000
  Ex. kurtosis                 91.825
  5% percentile               0.19218
  95% percentile               5.1750
  Interquartile range          1.4510
  Missing obs.                      0

Exponent of normal distribution

Exponent of normal distribution 2

Так, это хорошо. Теперь представим, что после долгих лет упорного дата-майнинга (data mining) мы достали данные о миллионе рабочих и миллионе рабочих мест, оборудованных капиталом. Теперь сгенерируем рабочую силу и капитал для функции Кобба—Дугласа. Пусть они все будут равномерны, труд — от 3 до 15 (randgen(u,3,15)), капитал — от 5 до 20 (randgen(u,5,20)). Ничего, регрессия только выиграет от такой независимости. Add — Random variable — Uniform. Почему такие значения? Во-первых, все логарифмы больше единицы. Во-вторых, чем шире разброс регрессоров, тем лучше. Корреляцию необходимо тоже проверить статистически.

Да, и не забываем менять seed! Tools — Seed for random numbers. А ещё лучше записывать, какие числа используем.

Summary statistics, using the observations 1 - 1000000
for the variable 'L' (1000000 valid observations)
  Mean                         8.9972
  Median                       8.9914
  Minimum                      3.0000
  Maximum                      15.000
  Standard deviation           3.4639
  C.V.                        0.38499
  Skewness                  0.0028195
  Ex. kurtosis                -1.2002
  5% percentile                3.6035
  95% percentile               14.402
  Interquartile range          5.9986
  Missing obs.                      0

Summary statistics, using the observations 1 - 1000000
for the variable 'K' (1000000 valid observations)
  Mean                         12.500
  Median                       12.501
  Minimum                      5.0000
  Maximum                      20.000
  Standard deviation           4.3319
  C.V.                        0.34655
  Skewness                4.5311e-006
  Ex. kurtosis                -1.2022
  5% percentile                5.7482
  95% percentile               19.247
  Interquartile range          7.5089
  Missing obs.                      0

corr(L, K) = -0.00050070
Under the null hypothesis of no correlation:
 t(999998) = -0.500703, with two-tailed p-value 0.6166

Uniform factor distribution 1

Uniform factor distribution 2

На диаграмме разброса покажем только первые десять тысяч точек, так как оно всё рябит.

Factor distribution

Выполнены почти все условия теоремы Гаусса—Маркова ((1) отсутствие корреляции ошибок благодаря качественному генератору случайных величин (статистика Дарбина—Уотсона), (2) детерминированность и независимость \(X_i\), (3) отсутствие систематической ошибки \((\mathbb{E}(\varepsilon)=0)\), (4) гомоскедастичность ошибок (в силу, опять же, генератора)) — осталось только заняться спецификацией.

Всё отлично. Теперь придумываем модель. Пусть
\[Y = 2{,}71828 \cdot L^{0{,}333} \cdot K^{0{,}667} \cdot e^{\varepsilon},\]
\[Z = 2{,}71828 \cdot L^{0{,}333} \cdot K^{0{,}667} + 5\varepsilon.\]

В данном случае мы немного чувствуем себя богами, и это оттого, что нам известны истинные \(\varepsilon\). Что же, генерируем желаемые переменные в Add — Define new variable:


Почему я применил abs() в последней формуле? Потому что кое-где эти дурацкие нормальные ошибки уводят наш чудесный выпуск в минус. На миллион наблюдений и при моих параметрах модели таких случаев едва ли наберётся сто, поэтому можно успешно их увести в положительную область. Всё равно они по модулю маленькие — действительность отражают неплохо.

Смотреть там особо не на что, пока мы не получим результаты регрессионного анализа. Выделяем все четыре. Нажимаем Variables — Add — Logs of selected variables. Теперь идём в Model — Ordinary Least Squares и задаём параметры. Зависим l_Y, независимы l_K и l_L.

Model 1: OLS, using observations 1-1000000
Dependent variable: l_Y
             coefficient   std. error   t-ratio   p-value
  const       1.00204      0.00811912    123.4    0.0000  ***
  l_L         0.333701     0.00229338    145.5    0.0000  ***
  l_K         0.665010     0.00261911    253.9    0.0000  ***

Mean dependent var   3.340627   S.D. dependent var   1.042599
Sum squared resid     1001331   S.E. of regression   1.000667
R-squared            0.078822   Adjusted R-squared   0.078820
F(2, 999997)         42783.15   P-value(F)           0.000000
Log-likelihood       -1419603   Akaike criterion      2839213
Schwarz criterion     2839248   Hannan-Quinn          2839223
Log-likelihood for Y = -4.76023e+006

Всё отлично. Правда, R² низкий. Но это ещё ничего не значит. Как видите, этот тест отлично показал, что R² — это вообще не индикатор. Это регрессия начинает извиняться, что в каждом наблюдении у неё есть ошибка, а ошибок много (очень много), а они ещё все скачут экспоненциально (вернее, дают большую ошибку в оригинальный \(Y\) и оставляют этот гадкий след даже после логарифмирования). Коэффициенты, конечно же, точные. Дополнительно исчисленный Дарбин—Уотсон (в таблице не показан) равен 1,998 792. Теперь вторая модель.

Model 2: OLS, using observations 1-1000000
Dependent variable: l_Z
             coefficient   std. error    t-ratio   p-value
  const       0.860155     0.00174908     491.8    0.0000  ***
  l_L         0.350244     0.000494058    708.9    0.0000  ***
  l_K         0.700475     0.000564230   1241      0.0000  ***

Mean dependent var   3.320815   S.D. dependent var   0.375988
Sum squared resid    46470.85   S.E. of regression   0.215571
R-squared            0.671274   Adjusted R-squared   0.671273
F(2, 999997)          1021021   P-value(F)           0.000000
Log-likelihood       115526.5   Akaike criterion    -231047.0
Schwarz criterion   -231011.5   Hannan-Quinn        -231037.2
Log-likelihood for Z = -3.20529e+006

Что?! Что я вижу?! На миллионе наблюдений в допущении экспоненты нормальных ошибок мы получили асимптотически смещённые оценки! Позор! Позор! Позор этому миру. Можно уже начинать сжигать книги.

Проведём тест на сумму коэффициентов. Я понимаю, что на миллионе в первой регрессии и так уже коэффициенты близки к истинным, поэтому не так хорошо видно, что́ я на самом деле пытаюсь понять, ибо \(0{,}333\,7+0{,}665\,0\approx\ldots1\) — а насколько именно приближённо? Вот на эту единицу мы и проверим. Tests — Linear restrictions. Вводим мантру:


Ответ для регрессии \(Y\):

 b[l_L] + b[l_K] = 1
Test statistic: F(1, 999997) = 0.137098, with p-value = 0.711183

Restricted estimates:
             coefficient   std. error   t-ratio   p-value
  const       0.999065     0.00116651    856.5    0.0000  ***
  l_L         0.334261     0.00172455    193.8    0.0000  ***
  l_K         0.665739     0.00172455    386.0    0.0000  ***
  Standard error of the regression = 1.00067

Смотрим p-value: 0,711 — конечно, при миллионе-то наблюдений! Отлично, тест пройден.

А если ввести линейные ограничения в модели с кривыми ошибками (регрессия \(Z\))?

 b[l_L] + b[l_K] = 1
Test statistic: F(1, 999997) = 4569, with p-value = 0

Restricted estimates:
             coefficient   std. error    t-ratio   p-value
  const       0.977157     0.000251871   3880      0.0000  ***
  l_L         0.328230     0.000372363    881.5    0.0000  ***
  l_K         0.671770     0.000372363   1804      0.0000  ***
  Standard error of the regression = 0.216063

Удивительно, но наши смещённые коэффициенты чудесным образом «пофиксились» самостоятельно! Другое дело, что p-value равно нулю, что мы улетели в «хвост» распределения, гипотеза о равенстве суммы единице отвергается (ошибка первого рода), поэтому данный тест показывает нам жирную дулю, что ненормальные ошибки — бич регрессий.

Давайте сохраним остатки (Save — Residuals) и посмотрим на их распределение. Заодно и потестируем. Я назвал их eY и eZ соответственно.

Test for normality of eY:
 Doornik-Hansen test = 2.76177, with p-value 0.251356
 Shapiro-Wilk W = 0.999998, with p-value 0.999989
 Lilliefors test = 0.000695252, with p-value ~= 0.28
 Jarque-Bera test = 2.75455, with p-value 0.252266

Good residuals 1

Good residuals 2

Test for normality of eZ:
 Doornik-Hansen test = 994212, with p-value 0
 Shapiro-Wilk W = 0.913314, with p-value 1.50967e-149
 Lilliefors test = 0.0623541, with p-value ~= 0
 Jarque-Bera test = 2.59783e+007, with p-value 0

Bad residuals 1

Bad residuals 2

Очень похоже на распределение Стьюдента, но я не могу знать наверняка, так как и пик острее и выше, и «хвосты» тяжелее.

Для полного счастья запишем, как будут выглядеть истинные ошибки в модели с функцией Кобба—Дугласа и прибавленной ошибкой:
\[Y = AL^{\alpha}K^{\beta} + \varepsilon = AL^{\alpha}K^{\beta}\left(1 + \frac{\varepsilon}{AL^{\alpha}K^{\beta}} \right)\]

Так как последняя скобка довольно близка к единице (уж слишком на многое делят несчастный эпсилон), то действует выражение эквивалентности \(x \stackrel{x\rightarrow0}{\sim} \ln (1+x)\). Но я есмь человек, любящий точность, а оттого посмотрю на оба распределения. Как видно ниже, они почти сливаются.


Bad error

Вообще говоря, ничто не может быть нагляднее, чем график. Особенно трёхмерный. Конечно, я не могу построить график с миллионом точек. Даже сохранить данные не могу (программа зависла, пришлось к данному моменту всё заново делать... чёрт). Поэтому построим график с уравнениями конечных регрессий по выборке размером в две тысячи наблюдений.

Для «правильной» регрессии l_Y график выглядит так:
Volumetric normal distribution 1

Volumetric normal distribution 2

Volumetric normal distribution 3

Видно, что «пух» есть, что сильный, что на миллионе наблюдений он вообще превращается в персидский ковёр, но... Жизнь есть жизнь.

Для регрессии с неправильно специфицированными ошибками график выглядит так:

Volumetric not normal distribution

Volumetric not normal distribution 2

Volumetric not normal distribution 3

«Пуха» меньше, но и цена этого выше.

Вывод. Допущение о «нормальности» этого мира — абсурд. Несмотря на «нормальность» распределения ростов, на стьюдентовость распределения масс и на то, что уже на двадцати пяти монетках можно получить нормальное распределение, глупо, смешно и опасно предполагать, что парочка безобидных преобразований просто увеличит стандартные ошибки. Даже если это утверждал сам Андрей Александрович Мамонтов, посмеиваясь над скептически настроенными студентами. Правильная спецификация регрессоров даже асимптотически не может исцелить от ненормальности ошибок. Memento mori.

Постскриптум. «Иногда малая выборка лучше большой» — это верно или неверно? Неверно, но доказательство очень трудное. Тогда я скажу по-другому. Можно ли подпортить картину торжества модели с правильной спецификацией? Можно. Построим при помощи МНК те же две регрессии, но только на выборке из 800 наблюдений. Так как выборка — случайная величина, то и бояться её нечего.

Model 1: OLS, using observations 1-800
Dependent variable: l_Y
             coefficient   std. error   t-ratio    p-value 
  const       0.755572     0.294980      2.561    0.0106    **
  l_L         0.309048     0.0845139     3.657    0.0003    ***
  l_K         0.796715     0.0943801     8.442    1.47e-016 ***

Mean dependent var   3.375052   S.D. dependent var   1.057215
Sum squared resid    806.8346   S.E. of regression   1.006151
R-squared            0.096536   Adjusted R-squared   0.094269
F(2, 797)            42.58025   P-value(F)           2.69e-18
Log-likelihood      -1138.554   Akaike criterion     2283.107
Schwarz criterion    2297.161   Hannan-Quinn         2288.506
Log-likelihood for Y = -3838.6

Model 2: OLS, using observations 1-800
Dependent variable: l_Z
             coefficient   std. error   t-ratio    p-value 
  const       0.786741     0.0624576     12.60    2.61e-033 ***
  l_L         0.348992     0.0178945     19.50    1.48e-069 ***
  l_K         0.732322     0.0199836     36.65    4.14e-173 ***

Mean dependent var   3.333156   S.D. dependent var   0.379279
Sum squared resid    36.17173   S.E. of regression   0.213037
R-squared            0.685294   Adjusted R-squared   0.684505
F(2, 797)            867.7622   P-value(F)           8.2e-201
Log-likelihood       103.3827   Akaike criterion    -200.7654
Schwarz criterion   -186.7115   Hannan-Quinn        -195.3665
Log-likelihood for Z = -2563.14

Какая регрессия кажется лучше? Коэффициенты одинаково кривоваты и почти равны (и это при 800 наблюдениях! Вы там думали, что склеить пять наборов по 24 точки — это асимптотика, но нет, взгляните горькой правде в глаза), но у второй куда больше дьявольский R², да и ошибки коэффициентов поменьше... Однако отсутствие асимптотики не мешает второй модели по-прежнему запарывать тест линейного ограничения:

(Регрессия Y)
 b[l_L] + b[l_K] = 1
Test statistic: F(1, 797) = 0.702842, with p-value = 0.402082

Restricted estimates:
             coefficient   std. error   t-ratio    p-value 
  const       1.00047      0.0410358    24.38     1.49e-098 ***
  l_L         0.262031     0.0632130     4.145    3.76e-05  ***
  l_K         0.737969     0.0632130    11.67     3.49e-029 ***
  Standard error of the regression = 1.00596

(Регрессия Z)
 b[l_L] + b[l_K] = 1
Test statistic: F(1, 797) = 9.2669, with p-value = 0.00241004

Restricted estimates:
             coefficient   std. error   t-ratio    p-value 
  const       0.975023     0.00873522   111.6     0.0000    ***
  l_L         0.312843     0.0134561     23.25    1.05e-091 ***
  l_K         0.687157     0.0134561     51.07    1.13e-253 ***
  Standard error of the regression = 0.214138

Постсубскриптум. Вы только что прослушали «Фантазию» для двух фортепиано А. Н. Скрябина не сравнение двух моделей, а сравнение двух спецификаций, так как в обоих случаях регрессоры были одними и теми же.

Заключённые и телефоны-1

Задача. 50 заключённых будут рассажены по звуконепроницаемым одиночным камерам, из которых нельзя выходить. В каждой камере установлено два телефона: чёрный и белый. Как только заключённых рассадят по камерам, начальник тюрьмы позвонит в случайную камеру на чёрный телефон и спросит, на телефон какого цвета позвонить следующему заключённому. Получив ответ, тюремщик снова выбирает случайным образом камеру (равновероятно, то есть в одну камеру могут позвонить несколько раз подряд) и звонит в неё на телефон того цвета, который указал предыдущий заключённый.

Если заключённый уверен, что тюремщик уже каждому по одному разу позвонил, то он может сказать тюремщику, когда ему позвонят: «Вы всех обзвонили, выпускайте!» Если он оказывается прав, то всех выпускают. Если же тюремщик перед услышанием такого утверждения обзвонил не всех, то тогда всех расстреливают.

Перед началом тюремного срока заключённые могут встретиться и обсудить свою стратегию, какой цвет следующего телефона сообщать тюремщику и когда заявлять о полном обзвоне всех заключённых. После этого они не смогут менять стратегию, так как камеры находятся в разных местах и не пропускают звука.

Тюремщик звонит с переменным интервалом и неравномерно, поэтому время между двумя звонками всегда разное, и способа измерения времени не существует. Заключённые обладают хорошей памятью, то есть каждый помнит, на какой телефон сколько раз ему звонили. О какой стратегии необходимо договориться заключённым, чтобы выйти из тюрьмы через максимально короткое время?

Модель падающего тела при измерении расстояния, часть 1

В школе часто задают задачку: рассчитать глубину колодца, если в наличии есть только камень и секундомер. При этом предлагается воспользоваться простейшей формулой для измерения координаты тела, падающего равноускоренно без нулевой скорости:
\[ h = \frac{gt^2}{2}, \]

где \(h\) — путь (глубина колодца), \(g\) — ускорение свободного падения, \(t\) — время на секундомере.

При этом упускается важнейшая деталь. Скорость звука на этой планете очень невысока. Естественно, как только камень по параболе упадёт на дно, звук со дна начнёт лететь равномерно и прямолинейно, безо всякого замедления. Ушей слушателя он достигнет через время, равно отношению глубины ущелья к скорости звука. Если глубина невелика, то тогда всё нормально. Однако при глубине в 123 метра (или высоте, что то же самое; 123 метра — это высота 33-этажного MCI Centre в Лос-Анджелесе... или любого другого здания подобной этажности) звуку потребуется более трети секунды, чтобы достичь ушей слушателя. Как видно из иллюстраций, дальше — больше. Расстояние квадратично зависит от времени, поэтому доля возврата звука обратно в общем измеренном времени неуклонно растёт.





Если бы мы в модели с конечной скоростью звука просверлили в центре Эвереста отверстие-тоннель до земли и бросили туда камень, то он бы падал примерно 42 секунды, а обратно звук бы дошёл за половину этого времени (!). Радостные, мы бы стояли с секундомером, получили бы примерно минуту, подставили бы её в формулу \(h = \frac{gt^2}{2}\) и вычислили бы высоту Эвереста, которая бы отличалась от истинной в бо́льшую сторону... всего в несколько раз (иными словами, мы бы определили высоту горы с точностью до константы).

В формуле расчёта расстояния требуется ввести корректировку на скорость звука. Если этого не сделать, с каждой следующей секундой относительная погрешность измерения будет увеличиваться на 1,8–2 процентных пункта. Поэтому скорректируем наш ответ с учётом знания того, что скорость звука конечна и равна некой \(c\).

Звук летит равномерно прямолинейно без ускорения. Человек с секундомером измеряет сумму двух временных промежутков: время полёта камня (\(t_1\)) и время возврата звука (\(t_2\)). То есть мы знаем \(t = t_1+t_2\), а в формулу высоты, с которой падает тело, надо подставлять \(t=t_1\): \(h = \frac{gt_1^2}{2}\). Более того, \(h = \frac{gt_1^2}{2} = ct_2\), \(t=t_1+t_2\). Выразим \(t_1\) через \(t\):
\[ h = \frac{gt^2_1}{2} = ct_2 \quad \leadsto \quad t_2 = \frac{gt_1^2}{2c} \]
\[t = t_1 + \frac{gt_1^2}{2c} \quad \leadsto \quad \frac{g}{2c}t_1^2 + t_1 - t = 0\]
\[D = b^2-4ac = 1 + \frac{2gt}{c} \quad \leadsto \quad t_1 = \frac{c}{g}\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} -1 \right)\]

Скорость звука (о ней будет сказано ниже) нам известна (≈340 м/с), ускорение свободного падения тоже известно (9,80665 м/с²). Поэтому итоговая формула, позволяющая определить высоту объекта по времени падения камня, который стучит о дно, будет иметь вид:
\[ h = \frac{gt_1^2}{2} = \frac{c^2}{2g}\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} -1 \right)^2 = c\left( t - \frac{c}{g} \left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} +1 \right) \right).\]

Легко убедиться в том, что при очень большой скорости звука время \(t_1\) будет стремиться ко времени \(t\):
\[ \lim\limits_{c\rightarrow\infty} \frac{c}{g}\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} -1 \right) = \lim\limits_{c\rightarrow\infty} \frac{c}{g}\frac{\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} -1 \right)\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} +1 \right)}{\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} +1 \right)} = \]
\[= \lim\limits_{c\rightarrow\infty} \frac{c}{g}\frac{2gt}{c\left( \sqrt{1 + \frac{2gt}{c}} +1 \right)} = \lim\limits_{c\rightarrow\infty} \frac{2t}{ \sqrt{1 + \left\{\frac{2gt}{c_{\rightarrow\infty}} \right\}}_{\rightarrow0} +1 } = \lim\limits_{c\rightarrow\infty} \frac{2t}{\sqrt1 + 1} = t.\]

Вашему вниманию предлагаются графики, демонстрирующие отклонение результатов подсчёта по «школьной» и по скорректированной формуле.




Всем хороша данная модель, только сопротивления воздуха она не учитывает. Во второй части данной статьи я введу более совершенную модель, в которой будет учтена температура воздуха, его плотность, а также масса и аэродинамические свойства падающего объекта.

Сущность математики как Вселенной

диалог двух современных греков с замашками на монументальность

Анакрит. Диоклез, вы такой мечтатель! Знаете, люди (в том числе и вы) обречены на увлечение астрологией, если такого ещё не было.

Диоклез. Я? Обречён? Ни за что. Аз есмь сциентист. И физическим тяготением, слабым, сильным и электромагнитным взаимодействиями, сходящимися к одному в М-теории, всё буду объяснять. А не звёздами!

Анакрит. Подлинный сциентизм всегда возвращается, но никогда не бывает постоянным. Ему всегда сопутствует какая-нибудь лженаучная мистика. Сейчас у вас крайняя форма иррациональности — математика головного мозга. При должном лечении это переходит в более адекватную и реалистичную астрологию. Вы знакомы с биографией Юлиана Отступника? А со взглядами Кампанеллы?

Диоклез. «Астро» — это звезда. Вы хотите сказать, что я начну видеть мистику в расположении звёзд, которые движутся по инерции, а каждое следующее положение зависит от текущего, поэтому ничего изменить нельзя?

Анакрит. Верно! Только ведь науке неважно, что первично: инерция двигает звёзды, или звёзды порождают инерцию. Уравнение не изменится. Остаётся свобода трактовки. А вам, эгоцентричному символисту, астрологическое толкование окружающих явлений ох как пойдёт. Тем более что подлинная астрология — это не гороскопчики для вульгарных дамочек, а манускрипты на древних языках, перегрузка мозговых центров и математический анализ.

Диоклез. Звёзды не могут порождать инерцию. Импульс сидит в атомах. Потенциальная энергия сообщается телу, а не возникает в нём: за волосы вы себя из болота не вытянете. А эзотерика мне действительно пойдёт. Но продешевляться не желаю.

Анакрит. Кто сказал, что импульс сидит в атомах? Это утверждение с точки зрения позитивизма бессмысленно. Есть наблюдение, что за определённым приложением энергии следует определённое движение тела, и для описания этого процесс был введён термин «импульс». Это техническое понятие, вспомогательное и самостоятельной природы не имеющее. А дальше можно чему угодно его приписать — звёздам, атомам, Богу; это уже не наука. Тем более что в физике вроде как не признаётся уже принцип локальности. Хотя я этого не принимаю, как и индетерминизма.

Диоклез. Кинетическая энергия — это волна, распределённая в пространстве-времени. Возмущение гравитационного поля. Всё это можно измерить и определить.

Анакрит. Но опять же, «волна» — вспомогательное понятие. Непосредственно фиксируются изменения в строении вещества, для их объяснения вводится понятие волны, в своём роде техническое. Тем более что наиболее известный вид материи на грани вещества и волны — свет — является непосредственным продуктом деятельности звёзд.

Диоклез. Естественно, принцип локальности неверен. Взаимодействие известных сил может ослабляться экспоненциально, сила на расстоянии нескольких световых лет может быть обратна числу Грэма, но нулю она никогда не равна.

Анакрит. Ах, как вы красиво выразились: «обратно числу Грэма».

Диоклез. Свет — это не продукт деятельности звёзд, чёрт побери! Нет у них никакой деятельности. Он просто порождается наличием зарядов и их движением. Какую-то часть мы видим. Какую-то можем измерить. Энергия света и масса Вселенной связаны уравнением Эйнштейна, которое и дефект масс объясняет, и материю и энергию отождествляет. Допустите наличие тёмной материи — и всё у вас сойдётся в ноль. Рассчитайте искажение пространства-времени в сверхплотном сверхкомпакте — сможете потом определить, где будет рассеяна энергия, где будет масса, как тела будут двигаться и с какой силой каждое взаимодействие будет проявляться. И знаете что? Всё это уже было определено в момент зарождения Вселенной. Всё остальное — увы, мой друг, инерция.

Анакрит. Что значит «не продукт деятельности»? Бóльшая часть Вселенной что по массе, что по пространству — звездообразные структуры и вакуум (тёмную энергию пока не берём в расчёт). Свет преимущественно исходит из звёзд.

Кстати, всё определено! Что бы там ни говорили нынешние индетерминисты, людишки без философского мышления, не понимающие, что экспериментально опровергнуть детерминизм никак невозможно.

Диоклез. Да, свет исходит из звёзд. Но те просто зародились и продолжают излучать энергию по инерции. Звезда не имеет мозга или производственной функции, которая что-то с параметрами делает. Она просто теряет свет — вот и всё.

Мы просто не можем получить полную информацию о том, что происходит, из-за квантованности электронных орбит, неопределённости импульса... Но состояние мира — оно одно. Наша задача — исчислить всё такой моделью, чтобы она не слишком плохие предсказания давала.

Анакрит. Опять метафизика без эмпирического смысла. Материального мозга нет, естественно. А «теряет свет», «производит свет», «дарует свет» — синонимичные высказывания с позитивистской точки зрения.

Диоклез. Да, это синонимы. Но я не об этом. Я о том, что звёзды не порождают инерцию, но являются её рабами.

Я предлагаю ради издевательства создать какую-нибудь свободную и открытую интернет-энциклопедию с названием навроде «Трещины на камнях» или «Каталог камешков менее 1 см». И подробно описывать, где камень лежал в таком-то месяце, куда переместился. Мол, мы начали исчислять Вселенную с этого, получаем такие данные об устройстве мира. Начинаем с малого. Создать тысячи записей, фотографий, биографий камней. Для этого надо всего лишь создать хороший словарь, шаблонизатор — пожалуйста, каталог материи Вселенной (часть первая: камни Земли менее 1 см) готов.

Анакрит. Верно. Но это наша задача как учёных — описание фактов движения. Вопрос в том, на каком языке описывать. А это как раз отлично ложится на неоплатоническую концепцию! И тёмная энергия хорошо впишется. Теория трёх солнц Юлиана вам известна?

Диоклез. О трёх солнцах знаю. Высшее Солнце является неточным аналогом моей математики, которая является божеством, как вы когда-то выразились. Вселенское ничто и объективность, то, что только отражается, но что справедливо всегда и присно — это моя математика, христианский Бог и абсолютное Солнце Юлиана.

Анакрит. Помню карикатуру «Факты: журнал для неопозитивистов». И там «\(A = A\)», «\(5 > 3\)» и так далее — на каждой странице.

Раз так грезите идеей точного моделирования Вселенной, которую я оставил года три назад и против которой могу привести сильные аргументы, вот вам задача. Гипотеза: ни в какой возможной вселенной не может существовать машина, вычисляющая точно состояние этой вселенной в некоторый будущий момент времени и при этом не равная по размеру этой вселенной (то есть сама вселенная моделью самой себя считаться не может). Доказать или опровергнуть — подумайте над задачей. Очевидно, что гипотеза верна, но требуется доказательство.

Диоклез. Логарифмы и законы природы — это у меня нечто исчислимое, у религиозников — веруемое, у Юлиана — недоступное. Но я лучше всех их, потому что я предлагаю это всё предельно аппроксимировать, провести эксперименты в бесконечном числе вселенных, и тогда мы получим вот этот самый абсолютный закон всего существующего.

Анакрит. Математика — это второе Солнце, Царь-солнце Юлиана. Высшее недоступно.

Диоклез. Оно доступно. Мы же только открываем математику, раскрываем квантовые дуальности, коробку Шрёдингера, а если будет бесконечное число таких откровений, то тогда высшее станет доступным. Проблема: высшее — это и есть вся эта плеяда бесконечных вселенных. Это будет полностью познанный мир разума, восприятия. Восприятие нетождественно реальности. Разум нетождественен восприятию. Восприятье есть реальность.

Анакрит. Что? Что же такое разум, если не восприятие? Как по мне, это лишняя категория: есть только восприятие, но нет воспринимающего. Позвольте, с чего восприятие есть реальность? То есть невоспринимаемое не есть реальность, как у Беркли? Вы субъективный идеалист?

Диоклез. Под разумом я подразумеваю законы. Только мы их несовершенными органами воспринимаем.

Анакрит. Какое отношение законы имеют к разуму? Вы как раз постоянно утверждали, что законы и без разума прекрасно существуют.

Диоклез. И реальность несовершенна. Орбитали квантуемы, а не непрерывны. Спины рациональные. Я имею в виду, что вся совокупность законов Вселенной — это бесконечный разум. А я хочу быть частицей с комплексным спином!

Анакрит. «Хочу!» — это что за субъективщина?! При чём тут «несовершенство»? Это несовершенство восприятия и его языка. Это хорошо сформулировал Докинз: человек развивался преимущественно на мезоуровне, поэтому в его мозгу нет частей, отвечающих за восприятие микро- и макроявлений.

Диоклез. Несовершенство — потому что мы можем взвесить миллион коробок с кофе на заводе, чтобы получить приближение закона распределения, с которым его производит аппарат, изнашивающийся и меняющий закон распределения массы кофе с каждой новой банкой. А мы мерим миллион раз, миллиард раз, получаем какой-то сумасшедший статичный слепок из множества континуально изменяющихся законов распределения и думаем, что аппроксимируем мир к его истинному состоянию. Вот в этом несовершенство наших методов познания.

Анакрит. Ага, понял вас. Чисто неоплатоническое словоупотребление; нус (примерно равно разуму) у Плотина близок к чему-то вроде совокупности законов, идее, математике нашего мира. Я употребляю разум в смысле восприятия и стремления нас к этим законам, а не в смысле самих законов.

Диоклез. А я хочу, потому что в идеальной Вселенной — в этой самой бесконечности — в совершенном Солнце — я смогу быть кем угодно! И с дуальностью, и на орбитали номер корень из пи. И порядок будет непрерывный. И поставлю себе на стол 1,5 монитора, и они будут все работать! А сам я буду находиться в минус трёх с четвертью местах одновременно.

Анакрит. Вы как-то слишком привязаны к материальному состоянию мира. Давайте определимся, что есть для вас математика. Напишите про каждое последующее определение, что думаете о нём:

1. Математика — в первую очередь вспомогательный инструмент, помогающий нам неточно приблизить наши представления о материальной реальности к ней самой.

2. Математика — совокупность сущностных законов, эссенция нашего мира, которую мы познаём через исследование этого мира (поиск единой теории).

3. Математика — набор абсолютных законов, стоящий вне и выше нашего мира и постигаемый разумом, ценный сам по себе.

Диоклез. Второе и третье верны одновременно. Как-то вы по-юлиановски написали...

Анакрит. В первом случае математика рукотворна и нужна для мира, во втором нерукотворна и мир нужен ей, в третьем нерукотворна и ни в ком не нуждается. Да и первое верно, просто это немного разные математики.

Диоклез. Всё, что стоит выше, реализуется в частной выборке. Мы наблюдаем что-то ещё в одной вселенной — приближаем среднее. И так определяем математику, которая нерукотворна. Мир ей не нужен. Просто получилось, что мы есть, поэтому можем попытаться её определить. И в бесконечности у нас это получится. Только мир математике не нужен.

Анакрит. Тогда смотрите. Я утверждаю, что формула \(e=mc^2\) относится ко второй математике, 2 яблока + 2 яблока = 4 яблока — к первой, а относительно третьей математики никакое высказывание не будет отличаться от другого, что-то вроде \(0 = 0\).

Не перескакивайте грани бесконечности! Вы меняете одно выборочное среднее на другое. Ни на какой выборке истинное среднее вы не сможете найти.

Диоклез. Это субъективный вопрос мира — попытаться что-то определить, и эту математику в том числе. Над ней ничего нет. Она неизменна. Но в бесконечности полностью вычислима. Тогда уже исчезнет смысл существования, Вселенная познает сама себя, всё кончится.

Вы очень хорошо всё охарактеризовали, только не вполне точно. Дело в том, что \(e=mc^2\), \(-e=-mc^2\), сложим соответствующие части, получим ноль. В сумме ноль равен нулю. Но это такой сложный нейтральный механизм!.. То, что \(x = 1\times x\), а \(0=x\times 0\), — это далеко не тривиально! И там столько механизмов, определяющих ноль... Их бесконечно много! Но все они познаются за бесконечный промежуток времени.

Анакрит. Мне кажется, уравнение — не лучшее, что физика даст математике. Я хотел бы видеть единую теорию не в виде уравнения, а в виде метода, который, имея на входе координаты и импульсы в одной точке времени, выдавал бы их в другой точке.

Вопрос оформления, конечно. Но я не понимаю уравнений без темпоральных координат. Физика всё же не может быть ничем, кроме предсказания.

Диоклез. Тогда уже появятся механизмы, позволяющие задействовать части бесконечности, чтобы континуализировать и кватернионировать измерения, перпендикуляры, и мы сможем запустить механику части бесконечности. Например, четверти бесконечности. То есть спустя четверть бесконечности времени. И тогда Вселенная на четверть реализует себя.

Анакрит. «Мы сможем»?

Диоклез. Мы сможем! Механизм бесконечной генерализации механизмов может лежать в другой четверти, в другом орте. Но этому мехзанизму ещё что-то нужно.

Анакрит. Когда «мы сможем»? Я полагаю, через четверть бесконечности лет?

Диоклез. Да, через четверть бесконечности. Так. Метод должен быть максимально формализован и квантован. Должна появиться какая-то надматематика — генерализация вашей второй математики.

Анакрит. Мне одно не нравится: вы слишком уверенно пишете. Пишете о принципиальной ограниченности познания, а тон уверенный. Непроявление уважения к ней, или правда не чувствуете нерушимой грани между рассуждениями и Тем?

Диоклез. Не перебивайте! Надматематика будет комплексно относиться... Даже не знаю. Нет в текущей математике такой операции, которая бы описывала взаимоотношение генерализации средней математики и абсолютной. Какое-то... подобие, что ли.

Анакрит. Знаете, Александр Богданов свою науку тектологию, общую теорию организации и предшественницу кибернетики, подавал как генерализацию математики.

Диоклез. Просмотрел-с. Недостаточно общо. Дело в том, что математика и физика — это одно и то же. Познание ограничено только в дискретном и конечном промежутке. В бесконечности дисперсия среднего будет равна нулю, и средние значения отразят истинные, будут им тождественны.

Анакрит. Тектологией вы тоже обречены увлечься, потому пока не настаиваю.

Диоклез. Алгебра бесконечномерна. И с ней переплетены и ей тождественны физические законы мироустройства. Поэтому моё желание — стать кем-нибудь в −3,24 местах и одновременно на 1,5 мониторах печатать с отрицательной скоростью. Желание моё полностью законно как реализация частного исхода этой бесконечной системы бесконечностей, которая подарит нам возможность воспроизводить все те механизмы, которые мы откроем.

Анакрит. Выборочное среднее на бесконечности наблюдений не тождественно истинному среднему. Выборочное остаётся случайной величиной. Бесконечность может быть бесконечностью ошибок.

Диоклез. Бесконечная выборка — это генеральная совокупность, и потому среднее по ней истинно.

Анакрит. А, в смысле, что вы имеете в виду бесконечную выборку, являющуюся генеральной совокупностью. Тогда конечно. Но не любая бесконечная выборка — генеральная совокупность.

Диоклез. Вы согласились, что бесконечная выборка — это генеральная совокупность, мол, конечно, и тут же себя отрицаете. Вот правда: вся математика — это генеральная совокупность. Если вы бесконечное число раз измерите бесконечное число вселенных, то тогда найдёте истинные параметры. И через бесконечное число лет, как я уже говорил, произойдёт реализация открытых законов Вселенной, которые в неё изначально заложены... Нет, не заложены, просто из которых она состоит.

Анакрит. Генеральная совокупность может быть бесконечной выборкой, но не всякая бесконечная выборка — генеральная совокупность.

Лучше ответьте мне на такой вопрос. Монета выпадает решкой с вероятностью 0,5. Вы кидаете бесконечное число раз, и всё время выпадает решка. Вполне возможная ситуация?

Диоклез. Да, значит, во Вселенной есть какая-то хитрая дуальность, которая генерализует бесконечность на более широкий класс бесконечностей.

Анакрит. Удивительно... Это самое удивительное в пифагорейцах — в упор не видеть, что нет наук враждебнее, чем физика и математика, и упорно скреплять их мистикой, не имеющей отношения ни к той, ни к другой науке.

Диоклез. В пифагорейцах самое враждебное — это не ощипывать белого петуха через перекладину. (Здесь Диоклез высмеивает религиозные верования пифагорейцев. — Прим. авт.)

И в этой бесконечности у нас бесконечность решек, в другой — бесконечность орлов. И все их линейные комбинации. Под словом «бесконечность» я имею в виду бесконечно итерированную и генерализованную совокупность бесконечностей. Просто по определению монета — это 0,5 орла и 0,5 решки. Это определение справедливой монеты. И в этой самой бесконечной бесконечности, предельно полной, то есть в этой всей математике, всё, что распадается на две половины этой математики, является монетками.

Анакрит. Да, я понял. Вы об удивительном довольно явлении — выборке, тождественной генеральной совокупности. Стремление Души к Нусу (по Плотину).

Диоклез. То есть если есть прямая, являющаяся монеткой, то два луча — это орёл и решка. И понятно, что решка — это одни решки, то есть \(A=A\). Допустим, весь правый луч — решки, весь левый — орлы. Мы смотрим на прямую с левого торца и видим одних орлов в точках. Но дело в том, что эта бесконечность неполна. Это другой порядок малости. Аль забыли, что «о» малое бывает малых порядков? Так вот, им обратные величины бывают разных бесконечных порядков. Предельно бесконечный порядок — это и есть монетка, состоящая из двух половин. Это её определение.

Анакрит. Правда, эта чудо-выборка перестаёт быть выборкой. Но вы называете её выборкой потому, что вам приятно думать, что ваши жалкие земные конечные выборки имеют с ней некую общую природу, отличаясь лишь количественно. Вы отличие конечного и бесконечного мыслите количественным, не качественным.

Диоклез. Всё имеет единую природу бесконечной Математики, которая аппроксимируема и реализуема в бесконенчности!

Анакрит. Да, это я понял. Бесконечность бесконечностей.

Диоклез. Поэтому качественные и количественные различия — это одно и то же. Некорректно дифференцировать качественные и количественные изменения. Если величина меняется, то это уже изменение. Если из существующего набора возникает что-то другое, то это изменение как количественное, так и качественное. Даже репродукция объектов — это заполнение всей бесконечности пустотой; вот смысл размножения! То есть исчезновение, появление или изменение — это всё разные стороны одного и того же явления, именуемого нетождественностью.

Анакрит. Я бы дал такое определение: различие между двумя величинами является количественным, если одну можно получить из другой через конечное число арифметический действий. Тогда я прав, но это очевидно подогнанное определение.

Диоклез. Грубо. И определение у вас никчёмное. Мир бесконечно делим на бесконечно малые части, поэтому любое изменение — это уже бесконечность изменений. Вам нечем ответить!

Анакрит. Вы отрицаете качественные различия, я даю им определения в рамках признаваемых вами понятий. Спор терминологический, а не сущностный. Зачем вы пересказали апорию Зенона? Она тут при чём? «Мир бесконечно делим...» Ещё хуже, не к месту переоткрываете велосипед!

Диоклез. Если у нас есть бесконечность, то можно на неё поделить. Качественных различий не бывает. И количественных тоже не бывает. Есть просто тождественные состояния вселенной (пять яблок в этой и пять яблок в той). А есть нетождественные (пять и четыре соответственно). Индикатор различия есть единственно допустимый критерий оценки величины. С вашей точки зрения различие между пятью яблоками и четырьмя яблоками количественное. Между двумя яблоками и двумя грушами — качественное. Вопрос номер один: какова природа различий между двумя яблоками и одной грушей? Вопрос второй: какова природа различий между пятью яблоками и пятью яблоками? Качественные или количественные? Пока подумайте над этими вопросами.

Я вот о чём думаю. Если есть действие — написать письмо — то должно быть антидействие. Нет, не «не написать». И не отмотать время назад. Что-то, совсем проделывающее инверсию... Я это чувствую, но даже не знаю, как это описать. Сесть на стул. Обратное действие — это... как бы сотворить в одновременно существующей параллельной вселенной такое действие, чтобы их суммирование приводило к тому, что в результирующей вселенной никто никуда не садился. Сесть антиматерийно в обратной инверсии со всеми отрицательными показателями.

Анакрит. Теперь домножьте действие «сесть на стул» на \(i\) и опишите.

Диоклез. Понимаете, это сложнее. Обратное действие — это что-то, что очень естественно. Даже простое сложение, то бишь суперимпозицию двух посажений, надо сначала ввести. Смотрите. Я знаю, как получить ответ на ваш вопрос. Надо сначала ввести сложение во вселенной, потом получается отрицание, потом умножение (тоже через обратное действие), потенциирование. Главное правило — чтобы в сумме был ноль. Поэтому сложение, умножение и потенциирование тождественны тем, что определены через ноль.

Нет разницы между сложением, умножением на минус один и взятием корня. Любое действие во вселенной — это такое явление, суперимпозиция которого на своё противоявление даёт ноль. Под суперимпозицией я имею в виду наложение, одновременное сочетание, слияние воедино.

Анакрит. Вы мало того что признаёте альтернативные вселенные, так ещё и считаете нашу подчинённой некоей их совокупности, а не образующей её...

Диоклез. Понимаете, мы, как частный случай подчинения Великому Единому Закону Нуля, являемся только какой-то реализацией, которая за бесконечное число времени в бесконечном количестве ипостасей станет генеральной совокупностью.

Анакрит. Вы читали «Гамлета»? А «Розенкранц и Гильденстерн мертвы»?

Диоклез. Читал я. А тем временем во второй, комплементарной, части Вселенной у Антирозенкранца и Антигильденстерна получаются только решки. А во всех промежуточных вселенных, являющихся линейными комбинациями, — что-то между. Причём можно брать альфа в линейной комбинации и комплексное, и кватернион... Короче, число из моей единой общей алгебры.

Анакрит. Ох, ну вы так свободно переходите от математики к физике! Я так не умею.

Диоклез. Потому что всё возможно! И всё противоположное возможно! А в сумме — ноль.

Анакрит. Для меня ведь это бессмысленно.

Диоклез. Всё — это положительная часть Вселенной. Всё противоположное — это тёмная материя, которую мы не можем засечь. В сумме — ноль.

Анакрит. Относительно физики, то есть Вселенной, вы всё верно сказали, тут есть тождественность и нетождественность. А в математике количественно различие между одним и двумя, качественно между одним и бесконечностью.

Диоклез. Математика — это и есть Вселенная. Один — это какой-то ничтожно бесконечно малый её элемент. И два — тоже. И бесконечность (ваша, приземлённая, а не моя, являющаяся Всем). Понятно, что все они разные. Индикатор неравенства всех трёх точек между собой загорается во всех трёх попарных сопоставлениях.

Анакрит. Вы помните моё доказательство небытия Бога? Там утверждается, что понятия «существующее», «возможное» и «необходимое» тождественны (и главным является «существующее»), как и их антонимы.

Диоклез. Помню. Совершенно нормальная аксиоматика.

Анакрит. Это аксиоматика физикалистическая. Противоположная вашей.

Диоклез. Естественно. Есть материя, антиматерия, их линейные комбинации со множителями комплексными, кватернионными — какими угодно. Главное у меня вот что: ноль содержит сам себя. Это очень важно. Дело в том, что моя идеальная Бесконечность, то есть Математика-Ноль, всё это содержит. Половина решек (материя) и орлов (антиматерия) могут взяться в любой дикой комбинации из настолько генерализованных чисел, что представить нельзя, то есть чисел, генерализованных степени бесконечности Вселенной. Она содержит всё и саму себя. Это очень важно и нетривиально! Запомните, она сама содержит себя, антисебя, а также все их линейные и нелинейные комбинации — при этом всё это есть она сама. Если быть точнее, то линейные комбинации с коэффициентами, определёнными в бесконечной степени общо, степени общности Вселенной-Математики-Нуля. Любое осознание — ничто по сравнению с тем фактом, что ноль содержит ноль, при этом оставаясь ничего не содержащим нулём!

Анакрит. Возможна ли вселенная, в которой хоть один атом отличен от атома нашей? Очевидно, из линейной комбинации атомов нашей вселенной получить, вообразить такую можно. Так вот, эта вселенная, которую мы вообразим, — она возможна?

Диоклез. Возможна. Но мы не можем её получить средствами, доступными в нашей вселенной.

Анакрит. Да, это понятно. Вопрос второй: эта гипотетическая вселенная существует?

Диоклез. Да. Непременно существует.

Анакрит. Вопрос третий. Эта вселенная не просто есть, но обязана быть? То есть это не случайность, но фатальность, абсолютный факт?

Диоклез. Обязана. Потому что существует всё. И антивселенная. И вселенная, отличающаяся на эпсилон от нашей. Потому что при проведении какого-то преобразования можно получить одно из другого. Но так как в сумме всё получается нулём, то в нём есть всё бесконечной степени генерализованности и доступности. Какое-то магическое число, при домножении на которое «сесть на стул» превращается в «опрокинуть кружку», а одна вселенная трансформируется в другую. Понимаете, нет понятия случайности. Всё есть. Всегда есть всё. И мы смотрим на какой-то регион полушария неба, видим пять решек и три орла. И мы не знаем, что будет дальше. Но оно дальше уже есть! А случайность — это не случайность, а невсемогущество нашего восприятия на конечном горизонте при конечной силе органов чувств и организации мозга.

Анакрит. Понимаю! Блестящее описание, кстати говоря. Прежде чем перейти дальше, один вопрос, который для меня является техническим, для вас может показаться издевательским, но, умоляю, задумайтесь о нём всерьёз на миг. Не может ли быть такого, что вы правы во всём, кроме того, что всё сводится к нулю? Самое интересное, что у вас, как и у меня, тождественны существование, возможность и необходимость. Но у меня главенствует существование, у вас — возможность. Смысл выходит противоположный. Существует ли вселенная, в которой утверждаемое вами неверно?

Диоклез. Дело в том, что если всё у меня верно, кроме того, что всё есть в сумме ноль, причём сложный, содержащий и себя, и всё, состоящее из рассеянных материй и антиматерий разных знаков и линейных комбинаций, то тогда мы можем всегда в бесконечности времени получить полную картину всего, в ней получить обратный компонент суммы, который, как я уже и говорил, при бесконечном линейном комбинировании со всеми коэффициентами даст полную картину, которую мы уже открыли, то есть ноль. Существует всё. И антивсё. А их линейная комбинация — это ноль. И в нуле, то есть во всём, существуем и мы, и антимы, и все наши преобразования, функции, обратные величины, части и параметры всех возможных знаков.

Анакрит. Верно ли, что, какое бы утверждение я ни написал в кавычках, существует бесчисленное множество вселенных, в которых оно будет истинным?

Диоклез. Да. И бесконечное множество вселенных, в которых будет не только истинным, но и не ложным, и не промежуточным, а истинное отношение будет задаваться оператором, который всё итерирует во всех направлениях бесконечности. Но и так понятно, что сумма всех направлений — это ноль.

Даже то, что есть плюс и минус, операция и обратная ей, — это несправедливо. Это как шахматы на двоих. Должен быть плюс, минус, что-то среднее, что-то полуторное, минус среднее и так далее. Понимаете, всё это будет иметь смысл только при бесконечном обобщении. А в бесконечном обобщении существует бесконечное обобщение. Я пока не могу придумать шахматы с 2,5 цветами на 2,5 человек, но на двоих (частный случай) сыграть можно.

Вот вам пара вопросов на подумать. Раз. Что такое две с половиной точки на плоскости? Два. Что такое минус точка? Чем она отличается от минус куба? Вопрос со звёздочкой: плоскость с точкой, принадлежащей этой плоскости, — это больше, чем плоскость, или столько же? Является ли точка частным случаем нуля как ничего? А сумма точки и минус точки?

Анакрит. Две точки на плоскости — прямая. Три — вся плоскость. Две с половиной образуют нечто между ними. Это полуплоскость — плоскость, ограниченная с одного конца. На ней две обычные точки и одна, лежащая на прямой, за которой бездна. А минус точка — это то, что относится к минус кубу так же, как точка к кубу. Большего сказать не могу.

Диоклез. Первый ответ неубедителен. Надо сначала специфицировать понятие «часть точки», а потом уже отвечать. 2,5 точки — это количество точек, размерность Хаусдорфа линейной оболочки (евклидовой) которых равна 1,5.

Анакрит. В последнем вопросе я, подобно Лейбницу, признаю реальность бесконечно малых. Точка и плоскость — это больше, чем плоскость, точка больше, чем ноль. Сумма точки и минус точки — не то ноль, не то пустое пространство. Скорее, пустое пространство. С размерностью той из точек, размерность которых была больше. Я не хотел оперировать понятием дробной размерности, поскольку не понимаю его, и попытался переизобрести его.

Диоклез. Постойте, плоскость — это множество точек. Это бесконечность размерности два. Точка \(A\) уже есть в этой плоскости. Поэтому плоскость — это \(\infty^2\) точек, просто одну из которых мы назвали и выделили.

Анакрит. Позвольте! Про «часть точки» я ничего не говорил!

Диоклез. Вот это плохо, что не сказали. Это вам для того, чтобы впоследствии подумать. Запомните, часть точки — это такое количество точки, что величина, на единицу большая, чем эта часть, задаёт хаусдорфову размерность, равную этой части. Одна точка — значит, одна плюс одна (две) точки задают прямую размерности один. Три точки — значит, три плюс одна точки задают размерность три. И обобщается и генерализуется для всех чисел.

Анакрит. А это смотря какую точку прибавляем! Я говорил о случае, когда мы складываем плоскость и точку, не лежащую на этой плоскости (то ли просто лежащую в другой точке этого n-мерного пространства, то ли вообще из другой вселенной). Тогда получается нечто большее.

Диоклез. Тогда, конечно, верно.

Анакрит. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть.

Диоклез. Сумма точки и минус точки — это чистый арифметический нульмерный ноль. Сумма прямой и минус прямой — это чистый арифметический одномерный ноль. Поразмышляйте перед сном о разнице между нульмерным и одномерным нулями, и станете причастны к Моей аксиоматике.

Анакрит. Арифметический? В арифметике есть измерения? О, да вы же о координатах!

Диоклез. Я ошибся. Надо будет переспецифицировать нули. Арифметический, геометрический одномерный, нульмерный... Надо столько нулей придумать! Будет забавно, скажем, если у меня получится 17 видов нулей. Должно же быть ноль. Значит, в другой вселенной −17 нулей, всё остальное — линейная комбинация.

Анакрит. Подумайте о метавселенных побольше. Вот вам подарок:

Послание Единице

Всяк безумец, что ищет измены,
На тебя домножать будет зря:
Так, арабы изрезали вены,
Мысля корень из минус тебя.

Или в степень твою возведенье;
Ну да что; в степень степени (sic!):
Да и то — чёрт, а не изменение,
Даже не измененье, а пшик.

Небо яростно я вопрошаю,
Мозга ткани дымится покрой:
Не сказать то, что ты составная;
Как же можешь не быть ты простой?

Бог один, но различные лица,
Иль три бога, и каждый един?
\(i\) в квадрате, видать, единица,
Раз один в минус первой — один.

Ты противен мне, кол похоронный;
О, суккуб! Я дымлюсь, будто торф!
Раз система уж позиционна,
Единица — всегда автоморф.

Диоклез. Это вы?

Анакрит. Ага, под антисократический диалог. Надоело, не умею доводить стихотворения до конца. Не говоря о прочем; надо бы впихнуть стрелки Грэма и остальные свойства числа, да лень. Я склонен считать ноль натуральным числом. Хотя есть аргументы и против того. А вы?

Диоклез. Вопрос — что такое натуральное число?

Анакрит. Так вопрос как раз в том, какое определение принять. Если мы постепенно расширяем множества: пустое, ноль, натуральные, целые, рациональные, действительные — то с нулём. Если вспоминаем истоки понятия, то в счёте нуля нет, в самом деле.

Диоклез. В счёте ноль есть. Ноль яблок.

Анакрит. Греки единицу-то не всегда числом читали, что уж говорить о нуле.

Диоклез. Греки вообще любили извращения, и белокурыми рабами они не брезговали.

Анакрит. Ах, то есть вы математиколюб, но не признаёте греков. А кого? Немцев? Или хотя бы французов?

Диоклез. Греки вообще слишком ортодоксальными были. Если бы Вейерштрасс порядка не навёл, математика бы стала ещё одной социологией. В евклидовом пространстве настолько всё банально и небесконечно!

Анакрит. Конструктивистскую математику не любите, любите актуальную бесконечность?

Диоклез. Видимо, да.

Анакрит. Омерзительно! Не прельщают вас точные и изящные формулировки. Сравните однозначное «для каждого простого числа \(P\) существует простое число, большее \(P\)» — и невнятный лепет «множество простых чисел бесконечно». Абсурд!

Диоклез. Мало того, у этого множества есть мощность!

Анакрит. Пф-ф. Лженаука, ересь, мистика. Никакой стройности.

Диоклез. Наоборот, я за вейерштрассову стройность. Всё можно параметризовать, вычислить контрольную сумму.

Анакрит. Немцы слишком техничны, их системам недостаёт единства, удобства и понятности. При чём тут параметризация? Да и основа зыбкая. Аксиоматика должна строиться на реальном. А актуальная бесконечность иллюзорна.

Диоклез. При том, что у бесконечностей должна быть шкала абсолютной мощности. \(\aleph_0\), \(\aleph_1\) и так далее.

Анакрит. Я думал об абсолютной мощности года 2 назад...

Диоклез. Кстати, в рамках собственной картины Вселенной я понял сумасшедших людей. Дело в том, что у существующих живых людей в голове есть снимок какой-то континуальной части мира. Конечномерного, непрерывного, замкнутого куска материи. А как только разум начинает задаваться такими вопросами, какими мы сегодня задались, то тогда мы начинаем хватать точки из других измерений Вселенной. И мы постепенно берём линейную комбинацию, этот бесконечно делимый отрезок, и начинаем обозревать. Но количество молекул в голове конечно, возможности мозга ограничены, поэтому он начинает видеть только фрагменты. На связность места в памяти не хватает. И окружающие думают, что они психи. Они не психи. Они просто пока не могут обработать и увидеть весь участок континуума Вселенной, выходящий в иное от этого общепризнанного лоскутка картины мира измерение.

Анакрит. Купил и хотел подарить вам книгу «Гениальность и помешательство» Ломброзо, да пообещал другому. Для вас, впрочем, другая вещь есть.

Диоклез. Не надо... Я не гений. Я просто не даю себе сойти с ума, не углубляясь в вопросы бесконечности. И поэтому из-за ограничений, введённых ради сохранения функциональности несовершенной и дающей сбои мозговой оболочки, способной искажённо отражать процессы Математики-Всего, я не гений.

Анакрит. «Я не гений» — весьма провокационное, эгоцентричное и надменное высказывание. Даже от вас подобного дерзновения не ждал. У вас, кроме материи и антиматерии, есть другие возможные вселенные и породившая их и нашу математика.

Диоклез. Почему это дерзновение?!

Анакрит. Есть интеллектуальная последовательность: животное (вне интеллекта), посредственность (нулевой интеллект), рационалист (конечный интеллект), талант (стремятся в бесконечность, но не достигающий её интеллект) и гений — достигший бесконечности и обратившийся в безумие животного интеллект. Вы не животное: интеллект может быть оценён; не посредственность: обладаете им; не рационалист: явная претензия на контакт с бесконечностью. Казалось бы, талант — но талант стремится к гению; вы утверждаете, что, напротив, от бесконечности скрываетесь, не являясь потому талантом, как и гением. Претензия на бытие-над-схваткой: будто бы вас нельзя классифицировать, вы свободно регулируете собственный разум, становясь кем угодно по личной прихоти. Претензия на нечто большее, чем гений, безумец и даже животное. Фантастическая наглость!

Диоклез. А что такое «интеллект, обратившийся в безумие животного»?

Анакрит. Это сошедший с ума гений.

Диоклез. А почему не просто в безумие, а в безумие животного?

Анакрит. Потому что все животные безумны.

Диоклез. То есть бесконечность, ставшая нулём?

Анакрит. Нет. Ноль — это посредственность, животное — вне чисел. Переменная, достигшая бесконечности, а затем ставшая пустым множеством. Талант есть обещание гения. И талант во времени является отрезком; можно сколь угодно долго быть талантом. А гений моментален, гений становится таковым в некоторый миг, в предыдущий и последующий гением не являясь. Собственно, когда талант становится гением, — это не сила, а срыв, прекращение. Вы утверждаете, что способны быть просто талантом, что гениальность вам не грозит. Иммунитет.

Диоклез. Она грозит. Просто я это отрицаю, чтобы не лишиться рассудка и не выродиться в null space.

Анакрит. Сегодняшнюю беседу я бы назвал противоположностью сократическому диалогу. Там нечто спрашивается без ответа, здесь отвечается без вопроса. Там познаётся уже известное, здесь забывается никогда не бывшее в памяти.

Анакрит, не в силах продолжить мысль после истощившей его беседы, под звонкий смех бородатого Диоклеза засыпает.

Странные шахматные правила

“I'm invoking the King’s privilege. Three moves to one!”
History of the World, Part I (Mel Brooks, 1981).
«Я пользуюсь королевскими привилегиями: три хода вместо одного!»
Всемирная история, часть I (Мел Брукс, 1981).

В шахматах многие уже привыкли, что новичков сражает энпассан (проход через битое поле). Некоторые специально эксплуатируют бреши в знаниях малоопытных игроков и предлагают свои выигрышные ходы, приводящие к мату соперника, но противоречащие правилам. Международная шахматная федерация была вынуждена корректировать правила игры (проходящая пешка может стать любой фигурой своего цвета, а то некоторые превращали её в фигуру цвета соперника и блокировали атаку; рокирующиеся фигуры должны быть на одной горизонтали, а то некоторые проводили пешку в ладью и с ней рокировались). Однако некоторые правила так и не внесены в официальный сборник ФИДЕ, но продолжают оставаться в головах некоторых игроков, которые верят в странные правила или даже настаивают на их правомерности. Обычно самым веским аргументом в таких спорах бывают реплики «Мой папа так меня научил» или «Я всегда так играл». Ниже привожу список избранных окольных правил игры в шахматы, которых, конечно же, не существует, но которые заслуживают того, чтобы над ними посмеялись.

  • Пешка не может брать другие фигуры на своём первом ходу. Например, партия 1. Nc3 b5 2. Ne4 c6 3. Nd6(#) оканчивалась бы матом, так как пешка на e7 не может ударить в свой первый ход.
  • Пешка может есть назад. (Видимо, корни маститых шашистов иногда вылезают на поверхность.)
  • Когда король доходит до последней горизонтали, то на этой же вертикали на изначальную позицию добавляется пешка того же цвета.
  • Пешка, прошедшая на последнюю горизонталь, может быть заменена только на ту фигуру, которая была уже съедена соперником.
  • При замене проходящей пешки на ферзя последний должен быть помещён на свою изначальную клетку.
  • Пешка на вертикали a превращается только в ладью, на вертикали b — только в коня, т.е. на фигуру, стоявшую изначально с ней на одной вертикали. (Вопрос: что произойдёт, когда пешка на e дойдёт до конца? Два короля?)
  • Чтобы превратиться в фигуру, пешка должна простоять один ход на последней горизонтали.
  • Нельзя рокироваться, если ладья под ударом.
  • Нельзя рокироваться, если король, пускай ни разу и не двигавшийся, был под шахом.
  • Король и ладья при рокировке меняются местами.
  • Пешки могут брать любые фигуры на проходе (забавно: ладья прошла мимо пешки, а та её взяла энпассан).
  • Взятие на проходе — это когда одна пешка проходит мимо другой и может её взять.
  • Самым первым ходом в партии можно походить одновременно двумя пешками на один квадрат вперёд. Это подкрепляется тем аргументом, что «надо играть пешками на b и g, чтобы сразу дать выход слонам».
  • Первым ходом королевский слон может перепрыгнуть через квадрат, блокированный пешкой.
  • Любая фигура, прикрываемая конём своего цвета, может ходить, как конь. (На самом деле Маннис Чарош придумал этот вариант шахмат в 1972 году.)
  • Коронует список следующее правило, по извращённости бьющее все предыдущие: если у игрока остался только один король, но он доходит до противоположного конца доски, то на доску возвращается одна ладья его цвета.

Задача для детей школьного возраста

Давать её надо семиклассникам.

У меня есть две одинаковые бочки, которые до одного и того же уровня заполнены густой жидкостью: первая — дёгтем, вторая — мёдом. Я набираю полное ведро дёгтя и выливаю в бочку с мёдом, размешивая, чтобы смесь получилась однородной. Затем я набираю полное ведро получившейся смеси и выливаю её в бочку с дёгтем, помешивая.
Вопрос: количество чего теперь больше — дёгтя в первой бочке или мёда во второй бочке?

Если какие-то дети слишком хорошо знают цену мёду и вы не хотите травмировать их хозяйственную психику уничтожением продуктов, то можно заменить жидкости на кофе и сливки. Задача хорошо запутывает размышляющее над ней человеческое создание в том случае, когда в повседневной жизни принято добавлять одну жидкость в другую, но не наоборот. Для учащихся химических лицеев можно преподнести вариант с серной кислотой и водой (заодно запомнят, что куда надо лить).

Те, кто учится в технических лицеях, могут представить эту задачу так: имеются два металлических куба, равных по объёму. Один из них железный, другой золотой. С правого края железного куба отрезают ломоть-параллелепипед определённого объёма и притирают к краю золотого. Далее от верхнего (т. е. ставшего более широким) края полученной заготовки отрезают тот же объём металла (состоящий и из железа, и из золота) и возвращают к первому образцу. Следовательно, объём металла в обоих образцах устанавливается один и тот же. Где по объёму чего больше: железа в первом образце или золота во втором? Данная формулировка, на мой взгляд, более очевидна в плане решения.

Естественно, в данной задаче может быть не одна итерация переливания-перераспределения, а несколько. Конечно же, ответа это не изменит. Легче будет проиллюстрировать данную задачу схемами.

honey and tar

Изначально у нас есть две бочки, в первой плещется один объём дёгтя, в другой — такой же объём мёда.

honey with tar

Затем берётся доля \(x\) дёгтя и выливается в мёд.

Gruesome mixture

Значит, во второй бочке теперь есть 1 объём мёда и \(x\) объёмов дёгтя (естественно, \(0A fraction of honey and tar

Производится зачерпывание объёма \(x\), в котором мёд и дёготь соотносятся так же, как и во всей второй бочке. Заметим, что раз во второй бочке у нас между собой мёд и дёготь соотносились как \(\frac{1}{1+x}\) и \(\frac{x}{1+x}\), что в сумме давало единицу, то в зачерпнутой порции соотношение объёмов то же, только абсолютные величины отличаются в \(x\) раз, что даст нам соответственные количества \(x\cdot\frac{1}{1+x}\) и \(x\cdot \frac{x}{1+x}\). И такие порции мёда и дёгтя переносятся в первую бочку.

tar with honey

Итого имеется
— дёгтя в первой бочке: \(1-x+\frac{x^2}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}-\frac{x+x^2}{1+x}+\frac{x^2}{1+x}=\frac{1}{1+x}\);
— мёда во второй бочке: \(1-\frac{x}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}-\frac{x}{1+x}=\frac{1}{1+x}\).

honey and tar equal

P.S. Несмотря на идеологию свободы выбора и потребления, автор данной публикации является ярым противником уничтожения пригодных в пищу продуктов, так как сам периодически испытывает нехватку в оных, и приходит в бессильную ярость при виде томатных боёв, выбрасывания в окно обеденных порций, купания в тортовом креме и тому подобного непочтения к продуктам, которые можно и нужно есть, если у них не истёк срок годности. Подобный пронутриционный экстремизм не связан с какими-либо религиозными («Еду выбрасывать грешно!», «Хлеб есть тело Христа!» и прочие вопли) либо политическими («В войну наши деды ели крапивный хлеб с горелой мукой, а ты выбрасываешь кусок доброго хлеба и выливаешь в унитаз полмиски супа!») мотивами, так как автор является противником религиозных или политических крайностей. Здесь я, скорее, руководствуюсь какими-то соображениями оптимальности распределения (можно было бы принести несъеденный пончик домой и таким образом сэкономить на покупках), так как рядовому потребителишке свойственны экономическая близорукость и ограниченная рациональность. Было бы куда разумнее не выбрасывать еду, а отложить её на более поздний приём пищи или взять с собой, так как при наступлении внезапного голода за ту же еду потребитель готов отдать гораздо больше денег, чем при отсутствии голода (сравните цену охлаждённой бутылки газировки в магазине и в буфете: торговой наценкой никак не оправдать почти двухкратной разницы в ценах). Подобного провала рынка можно было бы избежать, если бы еда не выбрасывалась, а бралась с собой в бумажный пакет. Достаточно обратить внимание на растущую в странах Запада популярность фриганизма (freeganism): если продукт с малым сроком хранения («живое пиво», охлаждённое мясо, кремовые пирожные) подлежит утилизации на пятый день, в течение которого он был пригодным к употреблению, то почему бы его не съесть, если он по-прежнему аккуратно упакован, просто содержит на упаковке дату истечения срока годности, совпавшую со вчерашним днём? Производители всегда закладывают лишный запас прочности, чтобы продукты питания не стухли в упаковке, — дополнительные процентов пять от всего срока годности еду можно отправлять в эзофаг без опаски. Но и в сохранении еды стоит знать меру: лежалые остатки помидора действительно никого не привлекают и потенциально несут в себе больше вреда, чем пользы. То же можно сказать и более общо: забрать с собой слегка укушенный кем-то другим кусок кремового торта с деловой конференции, которую посещают исключительно состоятельные и следящие за здоровьем люди, или из чебуречной, где его более вероятно мог надкусить деклассированный элемент, способный оставить на еде образцы своей инфекции, — это две большие разницы, первую из которых я поощряю, вторую — нет.

Honey and tar: the end

Как прикинуть на глаз определитель матрицы

С определителем вообще песня та ещё. Народ не понимает, что это не абы какая функция от матрицы, которая что-то там считает через миноры посредством разложения, а показатель порядка великости самой матрицы и чисел, оную составляющих. Если матрица размера \)3\times3\) и числа однозначные, то, например, трудно получить что-то, что превысит (даже при самом плохом раскладе) \( 9\cdot(9\cdot9+9\cdot9)+9\cdot(9\cdot9+9\cdot9)+9\cdot(9\cdot9+9\cdot9) = 4\,374\) — и то я не уверен, что такое вообще возможно, надо тщательно просчитывать. Как примерно прикинуть, чему равен определитель? Надо взять из каждого столбца по самому большому (по модулю) элементу и всех их перемножить — порядок будет одним и тем же. Далее последуют два примера, взятые совершенно от балды, чтобы никто не сомневался, что они случайны.
\[ \begin{vmatrix} -7 & 6 & 5 \\ 9 & 1 & 0 \\ 2 & -8 & 4 \end{vmatrix} = -614,\quad 9\cdot(-8)\cdot5=-360 \]
— очень хорошо, порядок тот же, погрешность всего два раза.
\[ \begin{vmatrix} 3 & -9 & 1 \\ -6 & 5 & -2 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -130,\quad -6\cdot(-9)\cdot3=162\]
— тоже очень хорошо, порядок тот же, погрешность ещё меньше.

Чтобы определить эффективность такого «бульварного» способа оценивания определителя, я поставил в MS Excel эксперимент. Генерируется 10 столбцов по 10000 случайных чисел. Это значит, что у нас есть почти 90 000 матриц 2×2, почти 80 матриц размерности 3×3 и т. д. Короче, 10 000 матриц 10×10. Я выполняю следующий эксперимент: сначала считаю определители всех матриц по науке, а затем оцениваю их кустарным методом перемножения максимальных компонент столбцов. Эксперимент асимптотический, далее посмотрим на распределение погрешностей (во сколько раз отличается истинное значение от оценённого). Так как мы рассматриваем отношение, то имеет смысл делить большее на меньшее, так как если просто поделить оценку на истинный определитель, то получится какой-то дальний родственнник \(\frac{1}{x}\), а от 0 до 1 будет практически продублирован в зеркальном отображении под 45° весь тот хвост, который простирается от 1 до +∞.

Смысл дальнейших изысканий таков: определитель может быть меньше своей грубой оценки во сколько угодно раз, а во сколько раз он может быть больше произведения максимумов по столбцам — это случайная величина, распределение которой я сейчас продемонстрирую.

Данные до логической обработки — соотношение истинного определителя матрицы и его оценки в качестве перемноженных максимальных элементов по столбцам, распределение для матриц размерности 5×5:
Unrefined distribution

Хорошо, теперь давайте элементы от 0 до 1 обратим, чтобы была определённость с точным количеством раз разницы. Итак, теперь область определения — \((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\). Качественно ничего почти не изменилось:
Distribution with (-1;1) inversed to the rest of the plane

Видим, что распределение симметрично. Возьмём модуль и построим, наконец, само распределение.

Теперь сделаем самую надёжную оценку. Я не стал сравнивать распределения обращённых элементов от 0 до 1, а просто соотнёс большее с меньшим и теперь оцениваю величину по модулю.
Distribution with (-1;1) inversed, absolute value

Построим функции плотности всех распределений, чтобы иметь возможность их сравнить.

Отличие оценок определителей матриц размерности 2, 3, 4, 5, раз:
Determinant estimate destribution, 2­­-5 dimensions

Отличие оценок определителей матриц размерности 6­–10, раз:
Determinant estimate destribution, 6-10 dimensions

Странный рост в начале связан с тем, что для удобочитаемости я применял kernel smoothing, а из-за того, что число наблюдений у меня где-то 90 000, а где-то всего 10 000 (и вариация сама по себе масштабнее и непредсказуемее), я применял спецификацию Epanechnikov с шириной окна от 0,1 до 0,3 — оттого и смещение слева, от которого график особо не страдает.

Теперь посмотрим на характеристики распределения, полученные в STATA:

    variable |      mean        sd       p50       p90       p95       p99
       det22 |  2.969683   6.54334  1.376561  4.798915  9.114814  34.51908
       det33 |  3.944484  7.909387  1.728523   7.35587  13.75972  43.38153
       det44 |  4.382632  8.534545  1.955284  8.227311   15.5423   47.9921
       det55 |  4.423578  8.496063   2.08463  7.745087  15.14616  50.08404
       det66 |  4.237461   7.37583  2.251156  7.518971  12.72408  40.39537
       det77 |  4.395704  6.870661  2.538924  8.340541  12.34868  35.15758
       det88 |   5.23148   6.82887  3.111089  10.87696  15.73281  33.49964
       det99 |  7.410074  9.058479  4.291309   16.8345  23.88091  45.32733
     det1010 |  11.45932  13.39037   6.51681  27.97927  39.24973  65.45165

Интерпретация: если вы прикидываете, чему равен определитель матрицы 3×3, методом перемножения максимумов по столбцам, то с вероятностью 50 % ошибётесь не более чем в 1,73 раза, с вероятностью 90 % ошибётесь не более чем в 4,8 раза, с вероятностью 95 % (королева вероятностей) ошибётесь не более чем в 9 раз, с вероятностью 99 % ошибётесь не более чем в 34 раза. И так далее. А в среднем ошибётесь в 4 раза.

Мне кажется, что для величин порядка двух тысяч ошибка в 4 раза — это ещё хороший показатель. В этом-то несовершенном мире, попрошу заметить, который создавался не учёными, а природой, обезьянами, дикарями, племенами вояк, крестьянами и т. п., ошибка в 4 раза — это приемлемая точность. Необходимо разрушить мир и создать более научно измеримую систему, но пока у Меня нет на это времени.

P.S. Если кому-то не нравится масштаб наблюдений, пожалуйте отведать на десерт логарифмической оси ординат:
Determinant estimate destribution, 2-5 dimensions, log axis
Determinant estimate destribution, 6-10 dimensions, log axis

P.P.S. Для желающих провести эксперимент самостоятельно:

  1. Excel, генерация случайных чисел, функции МОПРЕД, ЕСЛИ.
  2. Wolfram Mathematica 8,
    det22 = SmoothKernelDistribution[Flatten[Import["C:/Users/admin/Desktop/det22.csv"]], 0.1, "Epanechnikov"]

    (вместо 0,1 можно задать другую ширину окна, вместо "Epanechnikov" можно задать другой метод наложения горба). Внимание, если задать ширину не явно, а, скажем, "SheatherJones", то система виснет при таком числе наблюдений!

  3. Там же:
    Plot[{PDF[det22, x], PDF[det33, x], PDF[det44, x], PDF[det55, x]}, {x, 1, 12}, PlotRange -> {0, 1}, PlotStyle -> {{Blue, Thick}, {Red, Thick}, { Brown, Thick}, { Black, Thick}}, PlotLegend -> {"2\[Times]2", "3\[Times]3", "4\[Times]4", "5\[Times]5"}, LegendShadow -> None, LegendPosition -> {.4, -.25} ]

    или что-то подобное для получения графика;

  4. STATA,
    tabstat det22 det33 det44 det55 det66 det77 det88 det99 det1010, statistics( mean sd p50 p90 p95 p99 ) columns(statistics)


  5. Предлагайте сами!

Преподавателям линейной алгебры

Мне кажется, надо студентам наглядно показывать, что такое градиент и производная по направлению. Можно показать на примере гор. Вот лезет студент-скалолаз по горе, участвуя в состязании, кто выше залезет. Соответственно, градиент — это то направление для него в текущий момент, сдвинувшись по которому на небольшую величину по горизонтали, он получит наибольший выигрыш в высоте. Скажем, если он решит переместиться на метр на на северо-восток \((1; 1)\), то он прибавит в высоте три метра, а если строго на север \((0; 1)\), то только один.

Что такое производная по направлению? Если студент увидит где-то на склоне сбоку симпатичную студентку и стал карабкаться по направлению к ней, то производная по направлению — это как изменится высота, на которой находится в данный момент студент, если он сдвинется на небольшое расстояние в сторону студентки.

Первый курс перед зачётом вообще не представляет, что такое собственные векторы. Почему там всё бывает ортогонально, почему при решении уравнений так важны собственные значения. Если мы находим собственное значение, то начинаем понимать проблему изнутри. Почему в огромных матрицах с довольно сильно зависимыми переменными всю информацию несут несколько первых собственных векторов, где там видна ортогональность (можно показать им облако точек вытянутое, провести два собственных вектора).