Нетрудная математическая задачка

Задача. Найти такие многочлены \(u(x)\), \(v(x)\), что
\[x^m u(x) + (1-x)^n v(x) =1. \]


Решение. Вспомним разложение бинома и запишем его сразу в форме суммы:
\[ 1 = \bigl( x + (1-x) \bigr)^{n+m-1} = \sum\limits_{i=0}^{n+m-1} C^i_{m+n-1} x^i (1-x)^{m+n-1-i} = 1. \]

Разобьём эту сумму от \(i=0\) до \(i=m+n-1\) на две суммы: от \(i=0\) до \(i=m-1\) и от \(i=m\) до \(i=m+n-1\). Из суммы \(\sum\limits_{i=0}^{i=m-1}\) можно будет вынести за знак суммирования \((1-x)^n\), а из суммы \(\sum\limits_{i=m}^{i=m+n-1}\) отлично выносится \(x^m\): эти выражения присутствовали в исходном вопросе. Для удобства сумму, из которой выносится \(x^m\), будем делать не по \(i\), а по \(j\), а сумму с вынесенным \((1-x)\) сделаем по \(k\). Следует пояснить, что \(\sum\limits_{j=m}^{j=m+n-1}\) — это то же, что и \(\sum\limits_{j=0}^{j=n-1}\). Тогда
\[\sum\limits_{i=0}^{n+m-1} C^i_{m+n-1} x^i (1-x)^{m+n-1-i} = \]
\[ = \sum\limits_{j=m}^{m+n-1} C^j_{m+n-1} x^j (1-x)^{m+n-1-j} + \sum\limits_{k=0}^{m-1} C^k_{m+n-1} x^k (1-x)^{m+n-1-k} = \]
\[ = x^m \sum\limits_{j=0}^{n-1} C^{j+m}_{m+n-1} x^j (1-x)^{n-1-j} + (1-x)^n \sum\limits_{k=0}^{m-1} C^k_{m+n-1} x^k (1-x)^{m-1-k} = \]
\[ = x^m u(x) + (1-x)^n v(x) \equiv 1. \]

About Andreï Kostyrka

Науколюб, грамматический нацист, антитеист. Пишу стихотворения, сочиняю музыку, верстаю книги, занимаюсь эконометрикой и настраиваю фортепиано.
Bookmark the permalink.

One Response to Нетрудная математическая задачка

  1. Анатолий says:

    Стоит отметить то, с чем связана трудность в решении этой задачи. Поставлен нестандартный вопрос. Сам по себе бином в голову не приходит.

    Есть вечная проблема: человеку, который впервые видит поле, нужно объяснять, почему нужно доказывать, что элемент, умноженный на ноль, есть ноль. Посоветовать можно только одно: «тыркаться в разные стороны». Первой мыслью у меня, связанная с этой задачей, оказалось разложение Безу наибольшего общего делителя двух многочленов. Кому-то другому может прийти первой мыслью бета-функция Эйлера. Решит задачу сам тот, кто на первой, на второй и даже на третьей идее не зациклится. Чуть-чуть одно соображение помучил, чуть-чуть другое, чуть-чуть третье, потом к первому соображению вернулся.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *